Si deux plans sont parallèles entre eux et qu'un troisième ne l'est pas, alors ce troisième plan coupe les deux autres plans en deux droites d'intersection distinctes. Si les trois plans sont non parallèles entre eux, ils peuvent se couper en un seul point.
Intersection d'une droite et d'un plan
Il est clair que l'intersection est obtenue en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues. Soit la droite D donnée par { u x + v y + w z = d u ′ x + v ′ y + w ′ z = d ′ et le plan P donné par { x = a + λ u 1 + μ u 2 y = b + λ v 1 + μ v 2 z = c + λ w 1 + μ w 2 .
Tant que les plans ne sont pas parallèles, ils devraient se croiser en ligne droite .
Pour démontrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que deux vecteurs normaux associés respectivement aux deux plans sont non colinéaires.
L'identification de droites sécantes
À l'aide des équations, on reconnait deux droites sécantes lorsque leur pente est différente (car ce sont des droites qui ne sont pas parallèles).
L'intersection est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a : A ∩ B = B ∩ A. L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
L'intersection de deux ensembles comprend tous les nombres ou objets communs à ces deux ensembles . Ces nombres ou objets communs sont appelés points d'intersection. Les diagrammes de Venn sont un outil utile pour visualiser les intersections d'ensembles. Le symbole mathématique de l'intersection est ∩.
On dit que deux plans sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est donc une droite.
En géométrie, un plan est une surface plane qui s'étend à l'infini dans toutes les directions. Deux plans sécants sont des plans non parallèles qui se coupent toujours selon une seule droite . Deux plans ne peuvent pas se couper selon plus d'une droite. La figure ci-dessus montre que les deux plans P et Q se coupent selon une unique droite XY.
Deux plans ne peuvent pas se couper en un seul point . Déterminez la solution du système d'équations et expliquez la relation entre ces plans. Puisque les deux plans ont la même normale, ils sont parallèles.
Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l'un des plans sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l'autre plan. Si deux plans sont parallèles à un même troisième alors ils sont parallèles entre eux. Si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.
Un dièdre en géométrie élémentaire étant constitué de deux demi-plans de même frontière le plan bissecteur d'un dièdre est le demi plan ensemble des points équidistants des faces du dièdre.
Pour obtenir une représentation paramétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme vecteur directeur −−→ AB, comme point de la droite le point A et de prendre t ∈ [0 ; +∞[. Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l'Espace sont rappelées dans le tableau 1.
Qu'est-ce que l'intersection de B et l'union de C ? L'intersection de B et l'union de C donnent les éléments qui appartiennent à l'ensemble A et qui sont communs aux deux ensembles, l'ensemble B et l'ensemble C.
L'Union désigne toute région incluant soit A, soit B. L'Intersection désigne toute région incluant à la fois A et B. Les diagrammes que nous avons tracés sont appelés diagrammes de Venn.
Nous supposons que A et B sont tels que A∩B = A∪B. Nous devons montrer que A = B. Pour cela étant donné x ∈ A montrons qu'il est aussi dans B. Comme x ∈ A alors x ∈ A∪B donc x ∈ A∩B (car A∪B = A∩B).
L'intersection de deux droites est le point où elles se rencontrent. Lorsque deux droites partagent un point commun, on dit qu'elles sont sécantes . Ce point commun, présent sur toutes les droites sécantes, est appelé point d'intersection. Deux droites non parallèles et coplanaires ont un point d'intersection.
Dans ce cas, nous avons deux droites : l’une nommée A à E (AE) et l’autre D à E (DE). Or, si l’on examine attentivement le nom de ces droites, on constate que les deux contiennent le point « E ». Cela indique que le point « E » appartient aux deux droites. Par conséquent, l’intersection des droites AE et DE est leur point de rencontre, c’est-à-dire le point « E » .
Les droites (AB) et ( CD|DC) sont perpendiculaires à la droite ( CB|BC). Elles sont donc parallèles entre elles. D'après l'énoncé, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC) et la droite (DC) est aussi perpendiculaire à (BC). Les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles.
Une représentation paramétrique de (D) est : Donc M(x;y;z) appartient à (D) et (P) si et seulement si il existe k tel que : (D) et (P) possèdent donc un unique point commun de coordonnées : C'est le point (D) est donc sécante à (P).
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).