Pour démontrer qu'un ensemble n'est pas un sous-espace vectoriel, il suffit de trouver un contre-exemple : vérifiez d'abord si 0 appartient à l'ensemble : si ce n'est pas le cas, c'est terminé. Sinon, vérifiez si l'opposé d'un vecteur de l'ensemble est dans l'ensemble.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F. { x + y ∈ F λ x ∈ F .
Il suffit donc de montrer que {x1 + x2 ; x1 ∈ E1,x2 ∈ E2} est un espace vectoriel, ce qui est clair. On définit de même par récurrence (et associativité de la loi additive sur E) la somme de n espaces vectoriels. On note alors E = E1 ⊕ E2.
Réponses. Alors un Z-espace vectoriel, ça n'existe pas, car Z n'est pas un corps. On parle plutôt de Z-module, qui est défini tout pareil qu'un k-espace vectoriel (avec les mêmes axiomes) sauf qu'on remplace k par Z.
Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. On a toujours l'inclusion {0E} ⊂ F. En particulier, pour montrer que F = {0E} il suffit de montrer que F ⊂ {0E}. On a toujours l'inclusion F ⊂ E.
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
On dit que F est un sous-espace vectoriel de E, si c'est un espace vectoriel et que F ⊂ E. Exemple : R2 est un sous-espace vectoriel de R3. Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il suffit souvent de montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu.
Autrement dit, une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle n'est pas vide, et est stable par combinaison linéaire. Exemples : {(x,y,z)∈R3; x+y−3z=0} { ( x , y , z ) ∈ R 3 ; x + y − 3 z = 0 } est un sous-espace vectoriel de R3 .
Définition 4 Une famille F = { v1,..., vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite base de V lorsqu'elle est libre et génératrice. Par exemple la famille {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4)} est une base de R3.
Exemple. La famille (u_1=(1,0), u_2=(0,1)) \in \mathbb{R^2} est libre, car ces deux vecteurs sont non colinéaires. La dimension de l'espace vectoriel \mathbb{R^2} étant 2, alors la famille u_1, u_2 est génératrice de \mathbb{R^2} (elle est donc une base de \mathbb{R^2}).
En particulier, (R,+,·), (R2,+,·) et (R3,+,·) sont des espaces vectoriels sur R. réel. de Mn,1(R).
Donc (Q,|. |) est un espace vectoriel normé de dimension finie.
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et les éléments de K sont appelés des scalaires. Exemples : Kn , K[X] , Mn,p(K) M n , p ( K ) sont des espaces vectoriels.
Définition 3 : base
Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Pour ce côté là, il suffit de dire que le cardinal de (u,v) est égal au cardinal de (i,j), autrement dit, (u,v) contient autant de vecteurs que (i,j). Donc (u,v) est génératrice de V. De plus, dim V = 2 car (i,j) est une base de V. Donc (u,v) est une base de V.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires, il suffit de montrer que F ∩ G = {0} et dimF + dimG = dimE. dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).
Soit H un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E de dimension finie. (1) H est un hyperplan si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Re : comment savoir si une matrice est un espace vectoriel
Pour vérifier que qu'un ensemble B est un espace vectorielle, il faut montrer que si U et V sont dans B alors aU+bV est aussi dans V pour tout a et b réel.
Cet ensemble est muni de façon canonique d'une structure d'espace tridimensionnel, vectoriel ou affine. On désigne encore cet espace par ℝ3. Dans tout autre espace tridimensionnel (affine et muni d'un repère affine ou vectoriel et muni d'une base), ℝ3 est l'ensemble des coordonnées possibles.
Cet ensemble est muni de façon canonique d'une structure de plan (c'est-à-dire d'espace bidimensionnel) vectoriel ou affine. On désigne encore ce plan par ℝ2. Dans tout autre plan (plan affine muni d'un repère affine ou plan vectoriel muni d'une base), ℝ2 est l'ensemble des coordonnées possibles.
Soit u un élément non nul d'un espace vectoriel E . L'ensemble des multiples de u par les réels est appelé droite vectorielle engendrée par u . Nous désignerons souvent par la notation Du , la droite engendrée par u . On a donc : Du = {m / m = µ·u , µ ∈ R} .
Un module est un espace vectoriel auquel on a remplacé le corps par un anneau. Toutes les propriétés de l'espace vectoriel sont respectés. La seule différence est que le corps K de l'espace vectoriel est un anneau A dans le cas d'un module.
Propriété Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension. Propriété Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors E × F aussi et on a dim( E × F ) = dim( E ) + dim( F ).
Définition. Vect(A) est appelé le sous-espace engendré par A. Soit F un sous-espace vectoriel. Si Vect(A) = F on dit que A est une partie génératrice (ou une famille génératrice) de F ou que A engendre F.