D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro. Le produit scalaire donne ( 2 , 1 , − 2 ) ⋅ ( 5 , 4 , 7 ) = 2 × 5 + 1 × 4 + ( − 2 ) × 7 = 0 .
pour démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires, on peut démontrer que arg( zD – zC zB – zA ) = π 2 ( π), c'est- à-dire que zD – zC zB – zA est imaginaire pur. 2°) Ecriture complexe d'une transformation géométrique.
Les vecteurs perpendiculaires (orthogonaux)
Pour déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires, on peut effectuer le produit scalaire de ceux-ci. En résumé, le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux donne toujours un résultat nul.
Il suffit de démontrer que l'angle formé par les deux droites est un angle droit. I Il suffit d'utiliser la propriété suivante : " Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Quand deux droites se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires.
La propriété de orthocentre d'un triangle
Si une droite passe par un sommet et l'orthocentre d'un triangles alors c'est une hauteur, elle est perpendiculaire au côté du triangle opposé à ce sommet.
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy. →u⊙→v=uxvx+uyvy+uzvz.
Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′). Alors u ⋅v =xx′+yy′. Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4). Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (BC). Prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On sait que : (AB) ⊥ (BC) et (CD) ⊥ (BC). Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles.
Les vecteurs ⃑ 𝐴 et ⃑ 𝐵 sont parallèles si, et seulement si, ce sont des multiples scalaires l'un de l'autre : ⃑ 𝐴 = 𝑘 ⃑ 𝐵 , où 𝑘 est un nombre réel non nul.
Définition. Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Définition. Un vecteur ⃗ n est dit normal à un plan (P) s'il est non nul et orthogonal à tous les vecteurs contenus dans (P) .
La norme d'un vecteur est sa longueur. Nous pouvons calculer la norme de tout vecteur en deux dimensions en utilisant le théorème de Pythagore. La norme du vecteur 𝐯 est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑎 et 𝑏 sont les deux composantes du vecteur.
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, −−→AB⋅−−→CD=0. A B → ⋅ C D → = 0. En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation AB=√−−→AB⋅−−→AB.
Projection d´un vecteur sur un autre
Si l´angle (OA,OB) est inférieur à PI/2 le produit scalaire est positif, si cet angle est supérieur à PI/2 le produit scalaire est negatif et si cet angle est égal à PI/2 le produit scalaire est nul.
Pense à: L(E,F;G) isométrique à L(E,L(F,G)). De sorte que Cauchy-Schwarz dit exactement que le produit scalaire est continu E x E --> lK.
Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à –AB × AH.
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.
- une règle et une équerre.
Pour indiquer sur une figure géométrique que deux droites sont perpendiculaires, on dessine un petit carré.