Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation y ′ = a y , où est une constante réelle. Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même : La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.
On peut aussi donner un mod`ele en temps continu du phénom`ene en pos- tulant que l'accroissement de population p/(t) est proportionnel `a p(t). On obtient une équation différentielle p/(t) = λp(t) qui m`ene `a une fonction expo- nentielle p(t) = Ceλt.
L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues a été soumise. Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques, par exemple la dynamique des fluides et la mécanique céleste.
L'introduction d'un terme logistique dans l'équation qui régit la dynamique de l'effectif des proies produit un comportement oscillatoire amorti des effectifs des deux populations, d'autant plus amorti que la valeur de K est petite. Les valeurs de N et de P tendent vers un équilibre (N*, P*).
S'interroger sur les paramètres qui influent sur la dérivée d'une grandeur physique, c'est chercher à établir une équation différentielle. La résoudre permet d'anticiper l'évolution d'un système. La mise en place d'une méthode numérique itérative permet de mieux ancrer l'idée du déterminisme et de la causalité.
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
L'utilité des équations différentielles se trouve dans la loi de décroissance radioactive. Définition : L'activité d'un échantillon radioactif (A) correspond au nombre de désintégration par unité de temps, donc A= − dN dt (1). Avec dN (sans unité) le nombre de noyaux désintégrés au bout d'une durée dt (en s).
Initialement antagonistes, ces approches tendent à se réconcilier. La modélisation des dynamiques des populations vise à expliquer, et éventuellement à prévoir, les évolutions d'une population dans un cadre écologique ou géographique donné.
Le modèle démographique de Malthus est un modèle exponentiel d'évolution de l'effectif de la population.
Leur nombre croit plus rapidement qu'avant. Par conséquence, les proies diminuent et les rencontres entre prédateurs et proies se raréfient. Le nombre de prédateurs commence alors à diminuer à cause du manque de nourriture et par conséquence le nombre de proies augmente, et ainsi de suite.
Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation y ′ = a y , où est une constante réelle. Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même : La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Équation différentielle y' = f
Une fonction F est une primitive de f sur I, lorsque pour tout réel x ∈ I, F′(x) = f(x). Une primitive de f sur I est solution de l'équation différentielle y′ = f. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Dans le cas d'un circuit RLC, l'équation différentielle obtenue est linéaire d'ordre 2, et la tension suit alors une évolution pouvant être caractérisée grâce à des fonctions trigonométriques.
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .
"En quoi les équations différentielles permettent-t-elles de modéliser un phénomène périodique?" N'importe quel système périodique pourra être modélisé par des équations différentielles, ex: Circuit électrique RLC; pendule avec frottement; rebonds sur un trampoline, enfin bref, moultes.
Exemple : La population d'un village est passée de 8500 à 10400 entre 2008 et 2012. Il s'agit ici d'une augmentation de 10400 – 8500 = 1900 habitants (variation absolue). Le taux d'évolution de la population est donc : t = 1900 8500 ≈ 0,224 = 22,4%.
Les différentes composantes qui expliquent l'évolution de la population résidante permanente sont l'accroissement naturel, le solde migratoire, y compris le passage de la population résidante non permanente à la population résidante permanente et les divergences statistiques.
Cette augmentation s'explique par un accroissement naturel positif et par l'augmentation de l'espérance de vie. Cependant, la croissance de la population ralentit. L'ONU estime que le maximum d'habitants sur Terre sera de 10 milliards d'habitants en 2050 et de 11 milliards en 2100.
Le processus de transition démographique, la mondialisation des migrations, la montée de l'urbanisation et le vieillissement global des populations paraissent être des mouvements universels et déterminants.
Aujourd'hui, la croissance démographique rapide, provoquée par un taux de fécondité élevé et durable, est associée à des taux de pauvreté plus élevés, de faibles taux d'éducation primaire et des taux de mortalité infantile et maternelle qui restent élevés.
Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.
F = q (E + v Λ B)
De manière générale, de tels oscillateurs peuvent se décrire par l'équation différentielle suivante : ¨x+2λ˙x+f(x)=0avecf(x)x→0−−→0(10) (10) x ¨ + 2 λ x ˙ + f ( x ) = 0 avec f ( x ) → x → 0 0 où x représente l'écart à la position d'équilibre et le terme 2λ˙x 2 λ x ˙ modélise l'amortissement.