Si a+b+c = 0, le barycentre des points pondérés (A,a)(B,b)(C,c) est le point G tel que a −→ GA+b −→ GB+c −→ GC = −→ 0 . Si a+b+c = 0, le barycentre du système (A,ka)(B,kb)(C,kc) (avec k = 0) est le même que celui du système (A,a)(B,b)(C,c).
L'existence et l'unicité de ce point se prouvent aisément en utilisant la relation de Chasles. , le barycentre des points (A1, … , An) affectés des coefficients (a1, … , an). Dans le cas particulier où a1 = a2 = … = an, on parle d'isobarycentre.
Soient A et B deux points du plan P , α et β deux réels tels que α+β = 0 . Il existe un unique point G tel que : α −−→ GA +β −−→ GB = −→ 0 . Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, α) et (B , β) .
Comme G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (A , 2) et (J,3). Les points A, J et G sont donc alignés. Le point G appartient donc aux trois droites (AJ), (BK) et (CI), ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.
La position du barycentre est donnée par la relation vectorielle α. GA + β. GB + γ. GC = 0.
Comment démontrer qu'un point est le centre de gravité ? Si on peut tenir l'objet en équilibre sur un point, alors il s'agit du centre de gravité de l'objet.
Un barycentre, du mot grec barus : poids et centre, est un point d'équilibre entre deux poids. Il s'agit d'un principe mis en évidence pour la première fois par le mathématicien et philosophe grec Archimède.
Plusieurs droites sont dites concourantes si elles se coupent en un même point.
On dit que trois droites sont concourantes si elles se coupent en un seul point , appelé le point de concours de ces trois droites.
En mathématiques, des droites concourantes sont des droites qui ont un point d'intersection commun, ce point étant appelé point de concours. Les droites A, B, et C concourent en Y.
3) Le barycentre existe si et seulement si la somme des coefficients est non nulle.
Affixe du barycentre d'un système de points pondérés.
est le centre de gravité du triangle donc l'isobarycentre des points , et ; on a donc . est le centre gravité du triangle c'est donc l'isobarycentre des points , , et il a pour affixe ; on en déduit donc que et que les points , , sont alignés.
Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).
Un peu d'histoire
Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l'on appelle aujourd'hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.
Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul. Notons que le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle est, lui, le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
Pour trouver le centre de gravité d'un élément en deux dimensions, point placé dans un repère constitué d'une abscisse et d'une ordonnée, prenez la formule des moyennes pondérées correspondant au point situé sur l'axe des abscisses (Xcg), soit Xcg = ∑xW/∑W et celui situé sur l'axe des ordonnées (Ycg), soit Ycg = ∑yW/∑W ...
Lorsque deux droites ne sont ni parallèles ni confondues, elles sont sécantes en un point. On peut déterminer les coordonnées de ce point si l'on connaît une équation de chaque droite. Soient les droites d_1 et d_2 d'équations d_1 : y = 2x+1 et d_2 : y = -x+3.
Les médiatrices des trois côtés sont (bien) concourantes en . Donc, si on pose r = O A = O B = O C , les trois sommets du triangle A B C appartiendraient bien à un même cercle de centre et de rayon , qu'on appelle le cercle circonscrit au triangle A B C .
Or, les médiatrices de IJK sont concourantes; les hauteurs de ABC le sont également. Les médiatrices sont concourantes car, si l'on prend l'intersection H de deux d'entre elles (HA et HB), ce point est à égale distance des sommets: HI = HK et HK = HJ. Avec HI = HJ, ce point est aussi sur la troisième médiatrice HC.
Lorsque trois droites, ou plus, se coupent en un même point, on dit qu'elles sont concourantes.
concourant, concourante
Qui tend vers un même point, un même but : Efforts concourants.
Un objet pendu se positionne en équilibre lorsqu'il y a autant de matière à droite qu'à gauche, autant devant que derrière …. Par exemple, le disque pendu se met en équilibre lorsqu'il y a autant de matière (un demi-disque) de chaque côté de la verticale passant par le point de fixation.
Le centre de gravité est le point où se concentrent les forces de gravité ou de pesanteur. Il est déterminé par l'intersection des plans qui divisent un corps en deux parties de masse équivalente.
Le centre de gravité d'un triangle est au 2/3 en partant du sommet de chacune de ses médianes. Une démonstration qui utilise la géométrie analytique dans un repère (O ; x, y, z). Créé par Sal Khan.
Il est déterminé pour que la somme des vecteurs reliant tous les points à G, affectés du coefficient du point associé, soit nulle. Ce barycentre est le centre de gravité de l'ensemble des points.