Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante. Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Chercher le signe de . Comparer le quotient et le réel 1 pour une suite à termes strictement positifs. Etudier, sur , le sens de variation de la fonction telle que . Conjecturer à l'aide des premiers termes du sens de variation de la suite puis justifier cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
On dit que f est monotone sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≥ 0, alors f est croissante sur I. Si f est dérivable sur I et si, pour tout x de I, on a f (x) ≤ 0, alors f est decroissante sur I.
Étudier la monotonie d'une suite, c'est dire si la suite est croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre. La suite (un) définie par avec u0 = 1 est une suite arithmétique de raison r = –3 donc décroissante sur . Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 positif de raison q. (un) est décroissante lorsque .
Son sens de monotonie est donné par le signe de u1−u0 u 1 − u 0 . Si u1≥u0 u 1 ≥ u 0 , alors (un) est croissante, sinon (un) est décroissante. On conclut alors souvent de l'une des 2 façons suivantes : On arrive à prouver que (un) est bornée (parce que I l'est par exemple).
On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée. Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
1. Qui est toujours sur le même ton, qui offre une grande uniformité de son, de rythme : Chant monotone. 2. Qui lasse par le manque de variété dans les intonations ou les inflexions : Acteur monotone.
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante.
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
− d'une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant (On exprime un+1 en fonction de un pour tout entier naturel n). Cette relation est appelée relation de récurrence. Exemple Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n par un+1 = −2un + 3. Calculer u1 et u2.
Une matrice A ∈ Mn(R) est dite monotone si elle satisfait la propriété suivante : ∀x ∈ Rn, Ax ≥ 0 =⇒ x ≥ 0.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque u n u_n un s'exprime directement en fonction de n. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
Déterminer le sens de variation de la suite
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, le rapport \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q donne le sens de variation : si 0<q\leq 1, la suite est décroissante. si 0<q< 1, la suite est strictement décroissante. si q=1, la suite est constante.
Définition. Un intervalle I est dit stable par f lorsque f(I) ⊂ I. Définition. Un réel x est appelé un point fixe de f lorsque f(x) = x.
Contraire : brio, diversité, fantaisie, imprévu, variété. – Littéraire : vivacité.
5.3 Inverse d'une fonction monotone
Si on suppose que f ne s'annule jamais sur I, et qu'elle est de signe constant, alors la fonction inverse est monotone sur , de monotonie contraire à celle de f et de même signe.
Les fonctions constantes sont les seules fonctions simultanément croissantes et décroissantes. Toute fonction affine est monotone (strictement croissante si le taux d'accroissement est strictement positif, strictement décroissante si le taux d'accroissement est négatif).
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée. Par exemple, la suite u n = 1 n u_n= \dfrac {1}{n} un=n1 est bornée car, pour tout entier naturel non nul n, 0 < 1 n ≤ 1 0 < \dfrac {1}{n} \leq1 0<n1≤1.
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Une suite numérique peut se définir de deux façon :- de manière explicite : chaque terme de la suite peut être calculé à partir de son rang. On dit que u(n) est fonction de n. - de manière récurrente : chaque terme s'obtient grâce au terme précédent.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Une suite implicite (xn) est une suite définie par une équation En qui dépend de n, souvent de la forme xn est l'unique solution de l'équation fn(x)=0. Comme l'indique son nom, une suite implicite n'est pas explicite.
Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre. Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible.