On dit que f est de classe Cn sur I si elle admet une dérivée d'ordre n notée f(n) et si cette dérivée est elle-même continue sur I . On dit que f est de classe C∞ sur I si elle admet des dérivées successives de tout ordre.
Soit x = f − 1 ( y ) ; on a x 0 = f − 1 ( y 0 ) et par conséquent. Or est continue, donc quand tend vers y 0 , x = f − 1 ( y ) tend vers x 0 = f − 1 ( y 0 ) et le rapport x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) a une limite puisque est dérivable en et que sa dérivée f ′ ( x 0 ) est non nulle.
En d'autres termes, si 𝑥 = 𝑥 appartient à l'ensemble de définition de la fonction, alors 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 𝑥 si et seulement si sa dérivée 𝑓 ′ ( 𝑥 ) existe et si la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point ( 𝑥 ; 𝑓 ( 𝑥 ) ) n'est pas verticale.
Si elle existe, cette limite, notée f0(a), s'appelle la dérivée de f en a. (droite passant par les points (a, f(a)) et (x, f(x))). Sa limite est la pente de la tangente au graphe de f en (a, f(a)). Donc f est dérivable en a si et seulement si son graphe admet une tangente en (a, f(a)).
L'analyse des limites à gauche et à droite permet d'établir la continuité. La vérification de la limite du quotient différentiel confirme que les limites à gauche et à droite sont égales , ce qui rend la fonction continue et dérivable au point considéré.
La fonction f ◦g est la fonction définie par (f ◦g)(x) = f ¡g(x)¢. Remarque : Il faut faire attention aux ensembles de définition. Par exemple p ◦(x +1) (c'est-à-dire px +1) n'est pas définie pour les x < −1. +1 = x +1 alors que (f ◦g)(x) = px2 +1.
Règles pour les fonctions différentiables
(f - g)' = f' - g' (fg)' = f'g + fg' (f/g)' = (f'g - fg')/f .
Si la pente change en un point (voir f(x) = |x| par exemple), la fonction n'est pas dérivable. De plus, si une fonction n'est pas continue en un point, elle n'est pas dérivable.
L'ensemble universel U est constitué de tous les nombres naturels , tels que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}. Or, comme nous le savons, tous les nombres pairs et impairs font partie des nombres naturels. Par conséquent, l'ensemble U contient tous les éléments des ensembles A et B.
Une fonction qui présente un saut n'est pas différentiable au niveau du saut, pas plus qu'une fonction qui présente un point de rebroussement, comme |x| en x = 0. Généralement, les formes les plus courantes de comportement non différentiable impliquent une fonction tendant vers l'infini en x, ou présentant un saut ou un point de rebroussement en x .
La dérivée de toute constante (c'est-à-dire de tout nombre) est nulle .
(20.8a) Montrez que f(z) = Re z n'est pas dérivable pour tout z en démontrant que la limite dans la définition de la dérivée n'existe pas. Si l'on fait tendre ∆z vers 0 le long de la droite (∆x, 0), la limite est 1. Le long de la droite (0, ∆y), la limite est 0. Puisque les résultats sont différents, la limite n'existe pas et f n'est pas dérivable .
Si f(a) = f(b), alors a = b, si la fonction est injective. On peut donc remplacer x par a et x par ab, puis égaler les deux expressions obtenues. Si l'on obtient a = b, alors la fonction est injective .
Démonstration de la dérivée d'une constante : ddx(c) = 0. Ceci est très facile à démontrer en utilisant la définition de la dérivée. Posons donc f(x) = cf(x) = c et utilisons ensuite la définition de la dérivée. f'(x) = lim h→0 f(x+h) - f(x)h = lim h→0 c - ch = lim h→0 0 = 0. f'(x) = lim h→0 f(x+h) - f(x)h = lim h→0 c - ch = lim h→0
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0). Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner « sans lever le crayon ».
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Lorsqu'une fonction possède un point d'inflexion vertical , sa pente est indéfinie et, par conséquent, sa dérivée n'existe pas.
En fait démontrer que f n'est pas dérivable en 0, il suffit de démontrer que g(x)=f(x)x n'a pas de limite quand x tend vers 0+.
Règles de différenciation de base
Règle de la constante : ddx(k) = 0 Règle de la somme : ddx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) Règle de la différence : ddx[f(x) − g(x)] = f'(x) − g'(x) Règle du multiple constant : ddx[kf(x)] = kf'(x)
Une des méthodes les plus couramment utilisées pour déterminer le sens de variation d'une fonction est l'étude du signe de sa dérivée. ➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction.
L'ouvrage fournit ensuite des exemples d'utilisation de la méthode en trois étapes pour calculer la dérivée : 1) écrire l'expression de la variation de la fonction de sortie, 2) diviser par la variation de la fonction d'entrée, 3) calculer la limite lorsque la variation de la fonction d'entrée tend vers zéro . Plusieurs exemples illustrent l'application de cette méthode au calcul des dérivées de différentes fonctions.
La fonction composée f(g(x)) est également appelée fonction composée et se note mathématiquement f(g(x)) ou (f ∘ g)(x). Cela signifie que x = g(x) dans f(x). On peut aussi la lire « f ∘ g(x) ». C'est une opération qui combine deux fonctions pour en former une nouvelle.
Pour déterminer la dérivée d'une fonction composée, nous nous servons de la formule suivante : ( f ∘ g ) ′ ( x ) = g ′ ( x ) × f ′ ( g ( x ) ) Autrement dit, il s'agit de multiplier la dérivée de la fonction « interne » par la dérivée de la fonction « externe » .
Les découvertes récentes montrent que les origines des mathématiques remontent à la préhistoire, bien avant les civilisations organisées comme les Mésopotamiens ou les Égyptiens.