Si nous disposons de trois points non-colinéaires dans le plan A ( x A , y A , z A ) , B ( x B , y B , z B ) et C ( x C , y C , z C ) , nous pouvons obtenir la représentation paramétrique d'un plan comme suit : { x − x A = t ( x B − x A ) + t ′ ( x C − x A ) y − y A = t ( y B − y A ) + t ′ ( y C − y A ) z − z A = t ( z ...
Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique. Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ . La représentation paramétrique d'une droite est .
Représentation paramétrique d'un plan. Un plan est défini par un point par lequel il passe et deux vecteurs non colinéaires, appelés vecteurs directeurs. →AM=t→u+t′→v où t∈R et t′∈R. →AM=t→AB+t′→AC où t∈R et t′∈R.
La représentation paramétrique d'une droite donne les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chaque point appartenant à la droite en fonction du paramètre. Tout point appartenant à une droite peut être utilisé pour obtenir les équations paramétriques de la droite.
L'équation Ax² + Bx + C = 0 est une équation paramétrique. Ses solutions sont x1=−B+√B2−4AC2Aet x2=−B−√B2−4AC2A. L'équation y = mx + 12 est une équation paramétrique de paramètre m. L'équation xy = k est une équation paramétrique de paramètre k.
L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan .
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.
Pour montrer qu'une droite appartient un plan il suffit de montrer que deux points de cette droite appartient au plan. Remarque: si un une droite n'est pas parallèle à un plan elle lui est sécante, si une droite n'est pas sécante à une droite elle lui est parallèle.
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Il faut d'abord trouver la règle de chaque droite (y = ax+b) et par la suite résoudre le système d'quations (le plus facil c'est par comparaison). Les valeurs de x et y sont les coordonnées du point d'intersection.
On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Sur un plan, 12 cm représentent 300 m. Quelle est l' échelle du plan ? On veut savoir combien 1 cm sur le plan représente de cm dans la réalité (échelle de réduction). Si 12 cm représentent 300 m, soit 30 000 cm, alors 1 cm représente 30 000 cm ÷ 12 cm, soit 2 500 cm.
Propriété Un vecteur n est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Méthode à utiliser Pour montrer que le vecteur й est normal au plan (ABC), on vérifiera que й est orthogonal à AB et AC (on peut aussi raisonner avec AB et BC ou bien encore avec AC et BC).
Autrement dit, c'est un peu comme deux droites d'un même plan. Pour démontrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que deux vecteurs normaux associés respectivement aux deux plans sont non colinéaires.
En déduire que : M(x; y) ∈ C(I; r) ⇐⇒ ∃t ∈ R, x = a + r cost et y = b + r sin t Ecrire cette équivalence en utilisant l'affixe z = x + yi du point M et l'affixe ω = a + bi du point I. est une représentation paramétrique du cercle C.
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitée, munie de notions d'alignement, d'angle et de distance, et dans laquelle peuvent s'inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles.
Pour montrer qu'un point appartient à un plan donné par une équation cartésienne, on s'assure que ses coordonnées vérifient l'équation. Pour passer d'une équation cartésienne à une équation paramétrique d'un plan, on exprime une variable en fonction des 2 autres qu'on appelle t et t′.
Le point de percée d'une droite dans un plan est l'unique point commun entre la droite et la plan. Ce point n'existe que si la droite n'est pas parallèle au plan.
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme A = B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres.
Détermination du coefficient directeur de la droite : Détermination de l'ordonnée à l'origine : Il suffit de lire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. L'équation est de la forme y = px + d.
Lorsqu'un système d'équations est représenté par un graphique, il suffit de regarder le point d'intersection des droites afin de déterminer le couple solution (x,y) . On remarque que les droites se rencontrent au point (2,7) , ce qui est le couple solution du système d'équations.
Position relative d'une droite et d'un plan
Penser à utiliser le nombre de point d'intersection: Si la droite et le plan ont aucun point d'intersection: la droite est parallèle au plan. Si la droite et le plan ont au moins 2 point d'intersection: la droite est incluse dans le plan.