Comment expliquer les équations différentielles ?

Interrogée par: Emmanuel Toussaint  |  Dernière mise à jour: 28. Oktober 2022
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Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.

Quel est le but d'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation qui établit un lien entre une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. Ce qui veut dire que la solution d'une équation différentielle est une fonction !

Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?

Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .

Pourquoi les équations différentielles sont utilisées en physique ?

S'interroger sur les paramètres qui influent sur la dérivée d'une grandeur physique, c'est chercher à établir une équation différentielle. La résoudre permet d'anticiper l'évolution d'un système. La mise en place d'une méthode numérique itérative permet de mieux ancrer l'idée du déterminisme et de la causalité.

Comment reconnaître une équation différentielle ?

Une équation différentielle, que nous abrégerons parfois équa diff ou ED, est une égalité où il y a une fonction avec ses dérivées. Par exemple : On voit qu'il y a une fonction f, avec sa dérivée première f ', et sa dérivée seconde f ". On note y mais c'est sous-entendu y(x), y est une fonction, pas une variable.

LE COURS : Équations différentielles - Terminale

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Comment expliquer une équation ?

Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.

Quel est le lien entre les primitives et les équations différentielles ?

Équation différentielle y' = f

Une fonction F est une primitive de f sur I, lorsque pour tout réel x ∈ I, F′(x) = f(x). Une primitive de f sur I est solution de l'équation différentielle y′ = f. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Qui a découvert les équations différentielles ?

Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.

Comment trouver l'équation différentielle du mouvement ?

Si l'on tient compte uniquement du poids et de la force de frottement, l'équation du mouvement issue de la seconde loi de Newton donne : md2−−→OMdt2=m→g−βv→v m d 2 O M → d t 2 = m g → − β v v → qui, après projection dans le plan (x,z) se décompose en deux équations couplées : ⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩¨z=−g−βm˙z√˙x2+˙z2¨x=−βm˙x√˙x2+˙z2 ...

Qu'est-ce qu'une équation différentielle d'ordre 1 ?

Introduction. Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction, et où intervient la dérivée de cette fonction. Dans ce cours l'inconnue sera une fonction y de la variable t , et sa dérivée sera donc notée y ′ .

Qu'est-ce qu'une solution d'une équation différentielle ?

On appelle solution (ou intégrale) d'une équation différentielle d'ordre n sur un certain intervalle I de R, toute fonction y définie sur cet intervalle I, n fois dérivable en tout point de I et qui vérifie cette équation différentielle sur I.

Comment trouver une différentielle ?

Si une fonction y = f ( x ) est dérivable en tout point d'un intervalle on définit la différentielle de cette fonction par : d f = f ′ ( x ) Δ x où est un accroissement arbitraire de la variable.

Comment savoir si une équation différentielle est linéaire ?

On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre n définie sur I toute équation de la forme x(n)(t)=an−1(t)x(n−1)(t)+an−2(t)x(n−2)(t)+⋯+a0(t)x(t)+b(t) x ( n ) ( t ) = a n − 1 ( t ) x ( n − 1 ) ( t ) + a n − 2 ( t ) x ( n − 2 ) ( t ) + ⋯ + a 0 ( t ) x ( t ) + b ( t ) avec a0,…,an−1 a 0 , … , a n − 1 et b:I→K ...

Quels sont les types d'équations ?

Arithmétique
  • Équation diophantienne.
  • Nombre algébrique et transcendant.
  • Géométrie algébrique.

Comment résoudre une équation différentielle y '+ 2y 0 ?

Résolution de l'équation différentielle y′ + 2y = 0 dont la solution f vérife f(0) = 1 : Les solutions sont du type f(x) = ke−2x où k est une constante réelle. f(0) = 1 ⇐⇒ ke−2×0 = 1 ⇐⇒ k = 1, D'où f(x) = e−2x.

Comment les équations différentielles permettent de modéliser un circuit RC ?

Dans le cas d'un circuit RLC, l'équation différentielle obtenue est linéaire d'ordre 2, et la tension suit alors une évolution pouvant être caractérisée grâce à des fonctions trigonométriques.

Quelles sont les applications des équations différentielles en Physique-chimie ?

Les équations différentielles servent dans quasiment tous les domaines de la physique : en électromagnétisme, en mécanique des fluides, ... Mais elles prennent des formes plus complexes (plusieurs variables) et sont appellées "équations aux dérivées partielles".

Comment modéliser un oscillateur à l'aide d'une équation différentielle ?

De manière générale, de tels oscillateurs peuvent se décrire par l'équation différentielle suivante : ¨x+2λ˙x+f(x)=0avecf(x)x→0−−→0(10) (10) x ¨ + 2 λ x ˙ + f ( x ) = 0 avec f ( x ) → x → 0 0 où x représente l'écart à la position d'équilibre et le terme 2λ˙x 2 λ x ˙ modélise l'amortissement.

Quelles équations différentielles correspondent à un oscillateur harmonique ?

I Mod`ele de l'oscillateur harmonique (O.H.) o`u ω0 est la pulsation propre. La solution générale de l'équation différentielle est : x(t) = Xm cos(ω0t + ϕ) , avec : - ω0 la pulsation propre du mouvement (en rad.

Qui a créé l'équation ?

Le début d'une véritable théorie des équations est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du XVI e siècle.

C'est quoi une solution particulière ?

On appelle solution particulière de l'équation différentielle a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x) toute fonction y vérifiant cette équation.

C'est quoi une équation différentielle en physique ?

Une équation différentielle, est une équation liant les différentes dérivées d'une fonction y. En physique, on s'intéressera tout particulièrement aux dérivées temporelles (dy/dt). Une équation différentielle est dite du « premier ordre » si elle ne contient que la dérivée première de y (y').

Comment résoudre une équation différentielle non linéaire ?

Commençons d'abord par résoudre l'équation y′=y−x y ′ = y − x . L'équation homogène admet pour solutions les fonctions x↦Cex x ↦ C e x , et une solution particulière est la fonction x↦x+1 x ↦ x + 1 . L'ensemble des solutions de cette équation est donc constituée des fonctions x↦Cex+(x+1).

Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?

x vérifie l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : ax''(t) + b x'(t) + c x(t) = d(t) que l'on note (E). Rappel : résolution d'une équation du 2nd degré sur C : On considère, sur C, l'équation du second ordre : az2 + bz + c = 0 avec a, b, c des nombres réels.

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