a) (k + k')A = kA + k'A b) k(A + B) = kA + kB c) (kk')A = k(k'A) d) (kA)B = A(kB) = k(A x B) Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. La produit de A et B est la matrice, notée A x B, dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par chaque colonne de la matrice B.
L'ensemble des matrices à coefficients dans K possédant m lignes et n colonnes est noté Mm,n(K) (ou parfois M(m,n,K)). Lorsque m = n on note plus simplement Mn(K).
On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,...,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,...,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b� deux bases de E.
La matrice de passage de la base canonique vers la nouvelle base s'obtient en écrivant en colonne les vecteurs de celle-ci : P = 1 0 −1 1 1 2 1 1 3 . et écrire la matrice de passage Q de la base canonique de R2 vers cette nouvelle base.
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A.
Calculer la dimension de l'image de (x,y,z) ↦→ (x + y + z,x − y + z,3y,2x + 3y + 2z). C'est le rang du syst`eme des colonnes de la matrice, donc c'est le rang de la matrice. Calculer la dimension de l'image de (x,y,z) ↦→ (x + y + z,x − 2y + z,x + 2y + 3z,2x + 3y − z).
Une matrice est un tableau de données à deux entrées (par exemple, avec m lignes et n colonnes, la matrice étant alors dite « de taille (m, n) »), auquel on peut appliquer diverses opérations. Il en existe de différents types : matrice orthogonale, matrice symétrique, matrice antisymétrique, matrice unitaire, etc.
Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A.
Matrix affirme et montre la dépendance humaine aux machines. Le mythe de Frankenstein joue ici à plein : la technique, création humaine, est en passe de le dépasser : les machines pourraient devenir, d'outils utiles aux hommes, leurs bourreaux. Affleure ainsi une vraie technophobie, au-delà des apparences.
Les questions matrices permettent généralement de comparer plusieurs propositions sur une même échelle. On peut ainsi prioriser des éléments, voir ceux qui sont plus ou moins positifs, plus ou moins importants, identifier la présence ou non de problèmes sur différents sujets…
Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes associés aux matrices.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3.
Pour cela, multipliez M et M-1. La théorie veut que : M x M-1 = M-1 x M = I, I étant la matrice identité, c'est-à-dire une matrice dans laquelle la diagonale est constituée de 1, les autres valeurs étant des 0.
∀ x ∈ ker(f), f(x)=0. L'ensemble des x forme un sous espace vectoriel de l'ensemble de départ. Im(f) est l'ensemble des y ∈ l'ensemble d'arrivée qui ont un antécédent par f, Im(f) fome aussi un sous espace vectoriel.
On a E l'ensemble des vecteurs de l'espace (donc de dimension 3). Cela implique (théorème du rang) que la base de Im(f) doit être constituée de 2 vecteurs pour que dim(Im(f))=2.
On définit les applications f + g:E → F et λf:E → F par (f + g)(u) = f(u) + g(u) et (λf)(u) = λf(u) pour tout u ∈ E. Théor`eme. Si f et g sont des applications linéaires de E dans F et λ ∈ K alors f + g et λf sont des applications linéaires.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.