B = Q − 1 A P . En particuler, si u est un endomorphisme de E , de matrice A dans la base B , de matrice B dans la base B′, et si P est la matrice de passage de B à B′ , alors B=P−1AP.
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K. Propriétés. Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Un endomorphisme est uniquement défini par l'image d'une base. Il suffit donc de calculer quelles doivent être les valeurs de f(e1) f ( e 1 ) , f(e2) f ( e 2 ) , f(e3) f ( e 3 ) , f(e4) f ( e 4 ) . On sait déjà que : f(e1)=e1−e2+e3 f ( e 1 ) = e 1 − e 2 + e 3 .
Si M est une matrice carrée de taille n à coefficients dans le corps K, l'endomorphisme canoniquement associé à M est l'endomorphisme de Kn défini par X↦MX (où X est un vecteur - colonne - de Kn). Ça sert à faire de l'algèbre linéaire.
Une matrice canonique est généralement une somme directe de blocs indécomposables dotés d'une structure particulière . Le problème de la forme canonique admet parfois une solution satisfaisante (similarité ou congruence), mais pas toujours (similarité unitaire ou orthogonale complexe).
Un endomorphisme est défini comme une application d'un objet mathématique vers lui-même qui préserve la structure de cet objet, comme dans l'exemple où l'application g : E→E représente un endomorphisme pour une courbe elliptique E lorsqu'elle transforme les points à l'intérieur de la courbe.
Le spectre d'endomorphisme est défini comme un sextuplet contenant les cardinalités de ces six ensembles , et le type d'endomorphisme est un nombre compris entre 0 et 31 indiquant quelles classes coïncident.
Un endomorphisme est un homomorphisme dont le domaine est égal au codomaine, ou, plus généralement, un morphisme dont la source est égale à la cible . Les endomorphismes d'une structure algébrique, ou d'un objet d'une catégorie, forment un monoïde pour la composition. Les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module forment un anneau.
Une transformation linéaire de V dans lui-même sur F est appelée un endomorphisme de V. L'ensemble de tous les endomorphismes de V sera noté End(V). Cet ensemble est non vide puisque, comme nous l'avons déjà noté, il contient le 0-endomorphisme σ 0 : v →0 v ; et l'endomorphisme identité σ 1 : v →v.
Une matrice m × n : ses m lignes sont horizontales et ses n colonnes verticales. Chaque élément d’une matrice est souvent désigné par une variable avec deux indices . Par exemple, a (2 , 1) représente l’élément situé à la deuxième ligne et à la première colonne de la matrice.
On appelle matrice de type ( , ), un tableau à lignes et colonnes formées d'éléments d'un ensemble ( = ou ). Le terme situé à la è ligne et la è colonne d'une matrice est noté a i j . Les barres verticales sont utilisées pour le déterminant d'une matrice carrée.
Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments de K. Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A. Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j.
On peut alors définir un endomorphisme uF de F en posant uF(x)=u(x) u F ( x ) = u ( x ) pour tout x∈F x ∈ F . uF s'appelle l'endomorphisme induit par u sur F . Proposition : si u et v commutent, alors Im(u) et ker(u) sont stables par v .
Une transformation linéaire T :V → W est appelée isomorphisme si elle est surjective et injective. Les espaces vectoriels V et W sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme T :V → W, et on écrit alors V ∼= W.
Il existe trois formes d'isomorphisme institutionnel : coercitif, mimétique et normatif . Une fois les champs établis, ces processus d'isomorphisme conduisent à une homogénéisation progressive des organisations qui les composent.
L'endomorphisme u est dit nilpotent s'il existe un entier n > 0 tel que un = 0. Le plus petit entier n > 0 vérifiant cette propriété est alors appelé indice (de nilpotence) de l'endomorphisme u.
Un endomorphisme est un opérateur dont le domaine et le codomaine sont le même espace . D'où le préfixe « endo » : il « reste à l'intérieur » de ce même espace. En dimension finie, les matrices carrées sont des endomorphismes, mais les matrices non carrées n'en sont pas. On peut cependant qualifier les deux d'opérateurs.
Lorsque F = E, on dit que f est un endomorphisme de E. L'ensemble des endomorphismes de E est noté L (E). Lorsque f ∈ L (E,F) est une application linéaire bijective, on dit que f est un isomorphisme.
Si jamais il y a une valeur propre λ pour laquelle dim(Eλ)<mult(λ), ( E λ ) < mult ( λ ) , alors A n'est pas diagonalisable (voir cet exercice). Il n'est pas toujours obligatoire de calculer le polynôme caractéristique pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.
Un endomorphisme u∈L(E) u ∈ L ( E ) est autoadjoint (ou symétrique) si u∗=u u ∗ = u , c'est-à-dire si pour tous x,y∈E x , y ∈ E , ⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩ ⟨ u ( x ) , y ⟩ = ⟨ x , u ( y ) ⟩ .
Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement s'il est représenté par une matrice diagonale dans une base (de vecteurs propres). De plus, la diagonale de cette matrice est constituée des valeurs propres de u écrites dans l'ordre des vecteurs propres de la base.
Remarque. Pour montrer qu'un endomorphisme f ∈ L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Le déterminant d'un endomorphisme vérifie les propriétés suivantes : Si f,g∈L(E) f , g ∈ L ( E ) , on a det(f∘g)=det(f)det(g) det ( f ∘ g ) = det ( f ) det ( g ) . f∈L(E) f ∈ L ( E ) est un automorphisme si et seulement si det(f)≠0 det ( f ) ≠ 0 .