Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge. si ∑un ∑ u n diverge, alors ∑vn ∑ v n diverge.
Pour une suite géométrique (Un) de raison q et de premier terme positif : Si q > 1 alors la suite (Un) sera croissante. Si q = 1 alors la suite (Un) sera constante. Si 0 < q < 1 alors la suite (Un) sera décroissante. Si q < 0 alors la suite (Un) ne sera ni croissante ni décroissante mais alternée.
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r. - Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. - Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante. n+1 − u n = u n + r − u n = r .
Si pour tout entier naturel n, un+1un⩾1 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1un⩽1 alors la suite (un) est décroissante. la suite est strictement positive!
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a\lt b. Donner le sens de variation de f sur \left[ 1;+\infty \right[.
Si q = 1 alors la suite géométrique est constante : Un = U0. Si une suite géométrique est de raison 4 alors : elle est croissante si U0 = 1 ; U1 = 4 ; U2 = 16 ; U3 = 64... elle est décroissante si U0 = -1 ; U1 = -4 ; U2 = -16 ; U3 = -64...
La suite (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés.
On parle de suite linéaire récurrente d'ordre p pour désigner une suite (an)n∈N à valeur dans C (il peut en fait s'agir d'un corps commutatif quelconque) définie par une relation de récurrence de la forme suivante : {a0,a1,…,ap−1 sont fixés,an+p=c0an+c1an+1+… +cp−1an+p−1 pour n≥0.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Il faut donc choisir entre ces deux valeurs. C'est l'énoncé qui nous permet de faire ce choix: Lorsque les termes de la suite sont tous de même signe, la raison est positive. Dans le cas contraire, la raison est négative.
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente. Il existe deux sortes de suites divergentes : celles qui tendent vers l'infini et celles qui n'ont pas de limite.
si la suite est strictement positive, on peut étudier le quotient un+1/un u n + 1 / u n ; on peut essayer de prouver par récurrence que, pour tout n∈N n ∈ N , un≤un+1 u n ≤ u n + 1 ; ceci est particulièrement adapté pour les suites définies par une relation de récurrence.
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée : 3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge.
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un. Donc (un) est géométrique de raison a.
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n'importe quel terme de la suite.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn). Exemple (v_n) est la suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme v_0 =1.
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0. On obtient alors u0+1=f(u0), c'est à dire u1=f(u0).
Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Pour interpréter ce signe : Si f ( x ) a le signe +, alors la courbe de f est au dessus de l'axe des abscisses.
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équation y = 1 x . a = −f (a). Les points M (a; f (a)) et M′ (−a; f (−a)) sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
(a, b et c étant des réels, avec a non nul). Trouver les racines d'un trinôme du second degré, signifie résoudre l'équation ax² + bx + c = 0. Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.