La fonction considérée est f ( x ) = x 2 . Si h ≠ 0 , on peut simplifier par et obtenir T a ( h ) = 2 a + h . Lorsque tend vers 0, T a ( h ) se rapproche d'un nombre réel qui est . Nous avons donc démontré que pour tout réel , est dérivable en et f ′ ( a ) = 2 a .
La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.
dérivée d'une parenthèse
On passe l'exposant devant, on reproduit la parenthèse avec l'exposant diminué de 1, puis on multiplie le tout par la dérivée du contenu de la parenthèse.
Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
La dérivée d'une fonction contenant une racine carrée est toujours une fraction. Le numérateur de cette fraction est la dérivée du radicande.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) .
Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a. On a donc défini sur R une fonction, notée f ' dont l'expression est f '(x) = 2x . Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f. Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d'eau ».
Autre exemple, la dérivée de la fonction cube f(x)=x3 f ( x ) = x 3 est f′(x)=3x2. f ′ ( x ) = 3 x 2 . Notez que la dérivée permettra de réviser la technique du discriminant puisqu'elle est du second degré (question 3 de l'exercice ci-dessous).
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
La dérivée d'une fonction de la forme f ( x ) = x n est f ′ ( x ) = n x n − 1 .
Les propriétés de la fonction exponentielle sont semblables à celles des puissances. Ceci a amené les mathématiciens à adopter la notation exp(x) = ex. La fonction exponentielle est strictement croissante sur . La dérivée est ex, elle est strictement positive sur .
La dérivée d'une fonction permet : De calculer le coefficient directeur et donc l'équation d'une tangente. De déterminer, avant de faire un graphique, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
La fonction f = 1/u est dérivable sur tout intervalle ou la fonction u est dérivable et non nulle et on a : Démonstration : La fonction f =1/u est la composée de deux fonctions la fonction u suivie de la fonction inverse.
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes. Considérons x1, x2 et x3 les trois racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3. Dans le cas où x1 = x2, l'intervalle ]x1 ; x2[ n'existe pas. Dans le cas où x2 = x3, l'intervalle ]x2 ; x3[ n'existe pas.
Calculer l' ensemble de dérivation d'une fonction, généralement noté Df′ , revient à calculer l'ensemble de définition de sa fonction dérivée. Regarder dans R=]−∞;+∞[ R = ] − ∞ ; + ∞ [ , les valeurs pour lesquelles la fonction dérivée n'est pas définie. C'est à dire les valeurs de x telles que f′(x) n'existe pas.
La notation f′ (qui se lit f prime ) pour désigner la dérivée de la fonction f est due au mathématicien français Lagrange (1736 - 1813). Cette notation est la plus usuelle et la plus simple si la fonction étudiée est une fonction d'une seule variable.
Pour que f(x)=0, il faut forcément que le numérateur soit nul. Donc il faut résoudre l'équation suivante: C'est une équation du 3e degré, mais avec une racine évidente en x=0, donc tu peux en tirer une équation du 2e degré, qu'il faut résoudre.
(f + g) = f + g . Comme on a un peu de temps, on regarde un peu en détail. Si f et g sont deux fonctions dérivables, alors f + g est aussi dérivable et sa dérivée est la somme de celle de f et de celle de g.
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
= f (x)g(x) - f(x)g (x) g2(x) pour tout x ∈ I.
La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées. La dérivée de la différence de deux fonctions est la différence de leurs dérivées. La dérivée du produit d'une fonction par un réel λ est égale au produit de la dérivée de la fonction par λ.