La vitesse angulaire est, pour un mouvement de rotation, la mesure de l'angle parcourue par l'objet étudié (le système) en une seconde. La mesure de l'angle est généralement exprimée en radians (rad), l'unité de la vitesse angulaire est donc rad/s soit rad×s−1.
θ rad2π rad=L2π rθ rad1 rad=Lr θ rad 2 π rad = L 2 π r θ rad 1 rad = L r En manipulant la proportion ci-dessus, on trouve la formule suivante. Ainsi, les côtés d'un angle au centre de θ rad interceptent un arc dont la longueur (L) correspond à θ multiplié par le rayon r. r .
Mesure d'un angle en radians
Pour convertir des degrés en radians (ou inversement), on utilise le fait que : pi radians=180 degrés. Exemple : convertir 60° en radians. La mesure en radians d'un angle de 60° est pi/3 radians en cours de math.
Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l'écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition la fonction cosécante, qui apparaît dans l'expression donnée : c s c s i n ? = 1 ? .
l'utilisation du radian est impérative dans les calculs et manipulations de fonctions sin et cos. La raison est simple, des relations genre dérivée de cos(.) vaut sin(.), ou etc.. ne sont vraies que pour des valeurs x exprimées en radians.
Relations entre grades, degrés et radians
Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ; un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.
Dans un cercle Pi représente le rapport de la longueur L de sa circonférence à son diamètre D. Pi= L/D. Si R est le rayon du cercle on a D=2R et 2 Pi =L/R. Si on prend R comme unité de longueur et que l'on considère les arcs du cercle de longueur R=1 (les radians) ,on voit que L=2 Pi radians.
Radian : qu'est-ce que c'est ? Le radian est une unité (symbole rad) permettant de mesurer les angles plans, c'est-à-dire les angles classiques à deux dimensions (souvent opposés aux angles solides). Pour obtenir l'équivalent en radians de degrés ou de grades, on utilise des fractions avec Pi.
Pour passer d'une unité à l'autre, il faut se souvenir qu'il y a proportionnalité entre les heures décimales et les minutes, avec un coefficient de proportionnalité égal à 60 : 1 heure décimale correspond à 60 minutes. Or 1 heure vaut 60 minutes, donc 90 minutes vaut bien 1 heure et 30 minutes.
Comme une heure se divise en 60 minutes, un degré se divise en 60 minutes d'arc. Et comme une minute se divise en 60 secondes, une minute d'arc se divise aussi en 60 secondes d'arc. Ainsi entre le degré et la seconde d'arc, il existe un facteur 3.600, comme entre l'heure et la seconde.
Un tour correspond à 2 p radians. fréquence = vitesse angulaire / (2 p)=4,7 / (2*3,14) = 0,748 tour/s soit 0,748*60 = 44,9 tours/min.
Un angle d'1 radian est un angle qui délimite un arc de cercle d'une longueur égale au rayon du cercle. Dans un cercle de rayon R, un arc de longueur s est délimité par un secteur angulaire de mesure s/R radian. Il est important de remarquer que cette grandeur n'a pas d'unité : c'est le rapport de deux longueurs.
Mais on attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.
On retiendra la petite astuce mnémotechnique : SOHCAHTOA. Elle permet de retenir les trois formules : sinus = opposé / hypoténuse, cosinus = adjacent / hypoténuse et tangente = opposé / adjacent. Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle n'ont pas d'unité.
135 degre = 3\4 π rad.
pi est nombre réel. Il sert à mesurer une longueur (avec l'unité de mesure ), mais n'est pas une longueur. pi radians = 180 degrés. On a choisi 1 radian = 180/pi degrés, entre autres parce que l'arc de cercle déterminé par 180/pi degrés égale le rayon.
Exemple : Si a = 30 est un nombre, alors α=a° convertit le nombre a en un angle α = 30°, sans changer sa valeur. Si vous validez b=α/°, l'angle α est converti en le nombre b = 30, sans changer sa valeur.
Un angle se mesure habituellement en degrés (°) à l'aide d'un rapporteur d'angle. Un degré correspond à un trois-cent-soixantième (1360) de la circonférence d'un cercle. On note la mesure d'un angle à l'aide des symboles « m∠ », qui signifient « mesure de l'angle ». Il est aussi possible de mesurer un angle en radians.
Le calcul de Pi à partir des mesures d'un cercle
Mesurer le diamètre du cercle, Utiliser la formule de la circonférence (C=π²d). Vous obtiendrez π = C/d, Vérifier le résultat avec des cercles de périmètres différents, calculer la moyenne des résultats trouvés.