Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si elles ont le même
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et si leurs coefficients respectifs de même indice sont égaux.
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes !).
Une fonction P : R → R est dite polynomiale s'il existe un entier n ∈ N et des réels a0,a1,...,an tel que : ∀x ∈ R, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn (∗) Les réels a0,a1,...,an sont alors les coefficients de la fonction polynomiale P. ☞ On parle plus couramment de "polynôme" au lieu d'application polynomiale.
3.1 Factorisation d'un polynôme
Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x −1)(ax2 +bx +c). Réponse : pour tout x de R : On identifie les coefficients des termes de même degré. a b c = = = 1 −1 2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x −1)(x2 −x +2).
Comparer deux réels, c'est dire s'ils sont égaux ou sinon dire lequel est le plus grand ou le plus petit. c'est-à-dire b – a ≥ 0. Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence.
Pour trouver a et b, il faut résoudre le système. Par addition membre à membre, on obtient 2b = 4, soit b = 2. a + 2 = -3, soit a = -5. f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite d qui passe par les points A(0 ; 6) et B(1 ; 2).
Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme : où X est un symbole appelé « indéterminée du polynôme », supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients ai sont dans l'anneau et n est un entier naturel.
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Comparer leurs carrés
a) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² = b² alors a = b. b) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² < b² alors a < b. c) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² > b² alors a > b.
En effet, la manière usuelle de comparer des courbes est de comparer le maximum de la diffé- rence, ou certains points particuliers comme le début ou la fin d'un cycle, mais on perd beaucoup d'informations car cela réduit une courbe à un seul point (particulier certes, mais qui ne capture pas toutes les subtilités).
Un polynôme est une expression constituée d'une somme de monômes. Un polynôme à une variable est un polynôme qui ne contient qu'une seule variable. On dit du facteur constant d'un monôme que c'est son coefficient.
Si est un polynôme non nul, l'expression a n X n où est le degré de (i.e. a n ≠ 0 ), est appelée terme dominant de et notée d o m ( P ) . Le coefficient est appelé coefficient dominant du polynôme . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
Si P est un polynôme, on appelle coefficient dominant de P le coefficient devant le monôme de plus haut degré. Donc, si P s'écrit anXn+⋯+a0 a n X n + ⋯ + a 0 , avec an≠0 a n ≠ 0 , le coefficient dominant de P est an .
Pour obtenir le signe d'une telle fonction, il faut dresser un tableau de signes. Considérons x1, x2 et x3 les trois racines telles que x1 ≤ x2 ≤ x3. Dans le cas où x1 = x2, l'intervalle ]x1 ; x2[ n'existe pas. Dans le cas où x2 = x3, l'intervalle ]x2 ; x3[ n'existe pas.
Pour P(x) = ax + b,a 0, P est un polynôme du premier degré et pour P(x) = ax2 + bx + c,a 0, P est un polynôme du seconde degré. Pour k allant de 0 à n, les réels ak sont appelés coefficients de degré k du polynôme P. ! Par convention, le degré du polynôme nul, P(x) = 0 est égal à −∞.
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
3. Le degré d'un monôme à plusieurs variables correspond à la somme des exposants des variables. 2ab 2 a b est de degré 2 car 1+1=2.
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par , avec a un réel non nul, b et c deux réels. Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque et vers le bas lorsque . Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
Proposition : Si a1,…,ap a 1 , … , a p sont des racines distinctes de P , alors (X−a1)⋯(X−ap) ( X − a 1 ) ⋯ ( X − a p ) divise P . Un polynôme de degré n≥0 n ≥ 0 admet au plus n racines.
Une fonction est affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Si b = 0, alors f est une fonction linéaire. Si a = 0, alors f est une fonction constante.
Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs. Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f.