Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).
Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ∈ Mn(R), alors det(M) = det(tM).
Or les déterminants dans différentes bases sont des formes n-linéaires alternées et sont donc proportionels. Ceci nous donne : det(u1,u2,...,un)B = λ × det(u1,u2,...,un)B pour tout (u1,u2,...,un). Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.
Définition : Soit (→i,→j) une base orthonormée, Soient →u(x1y1) et →v(x2y2) deux vecteurs exprimés dans cette base, On appelle déterminant des deux vecteurs →u et →v le réel x1y2−y1x2.
Imaginons que l'on note C la matrice A x B : C = A x B. Le coefficient ci,j de la matrice C sera calculé en multipliant le ième ligne de la matrice de gauche avec la jème colonne de la matrice de droite. On multiplie tout simplement terme à terme chaque coefficient de la ligne et de la colonne.
1.1.
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad − bc. C'est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l'autre diagonale (en orange).
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1≤i,j≤n ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1≤i,j≤k ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ k , pour k allant de 1 à n .
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
La règle de Sarrus nous fournit un moyen de calculer le déterminant sans avoir à calculer les mineurs ou les cofacteurs. Notons, cependant, que le nombre de calculs que nous devons faire est sensiblement le même, sauf qu'il peut être plus facile de se souvenir de cette méthode.
Deux matrices A = ( a i k ) de type ( , ) et B = ( b k j ) de type ( , ) peuvent se multiplier. Le produit de ces deux matrices est une matrice C = ( c i j ) de type ( , ), où l'élément c i j de est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de par les éléments de la jème colonne de .
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
La notion d' « inverse » est relativement simple. L'inverse d'un nombre s'obtient en mettant ce nombre sur 1, en faisant donc "1 ÷ (nombre)". L'inverse d'une fraction est également une fraction. Il suffit « d'intervertir » le numérateur et le dénominateur, de la renverser en somme X Source de recherche !
Si la matrice n'est pas carré, elle n'est pas inversible ! et le déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas ! 2) Si A est inversible (et donc carrée) alors l'inverse de A s'écrit A^-1 et A*A^-1 = identité.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
La norme du vecteur est donnée dans un repère orthonormé par la formule suivante : √(x² + y²) ou √(x² + y² + z²). * Pour calculer la norme d'un vecteur du plan, laissez la case z vide. Exemples : Calculons la norme du vecteur du plan de coordonnées (5;12).
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
L'application définie par le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne. Si deux colonnes d'une matrice sont égales, son déterminant est nul. Le déterminant de la matrice unité est égal à 1.
Le rôle du déterminant
Le déterminant introduit toujours un nom dans la phrase. Il ne peut donc pas être employé seul. Parfois, il est tout juste avant le nom et, d'autres fois, il est séparé du nom par un adjectif.
Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant », dans les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant d'une forme quadratique binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne.