La somme de termes consécutifs d'une
On considère une suite arithmétique (un) de premier terme u0 et de raison r. (0 ⩽ p ⩽ n), on a : up + un−p = u0 + un. Soit Sn = u0 + u1 + u2 + … + un la somme des n + 1 premiers termes de la suite (un).
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
En règle générale, on utilise la première version si 𝑅 < 1 et la seconde si 𝑅 > 1 . Si 𝑅 = 1 , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : 𝑆 = 𝑇 × 𝑁 .
Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
Une suite (vn)est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, vn+1=q×vn. Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
Une suite (un) est géométrique de raison q si, pour tout entier naturel n, on a un+1=qun. u n + 1 = q u n . Cette expression utilise la récurrence. Elle signifie que l'on multiplie toujours un terme de la suite par le même réel pour obtenir le suivant.
Ou bien : u100 = u1 + (100 1) ⇥ (2) = 3 + 99 ⇥ (2) = 3 198 = 195.
Sn = n (n + 1) 2 . Au passage, on a obtenu une formule pour la somme des n premiers entiers naturels pairs : 2+4+6+ ··· + (2n − 2) + 2n = [(n + 1) × n − 1 × 0] = n (n + 1).
Exprimer en fonction de N la somme SN = u0 + u1 + ... + uN-1 Vérifier pour N = 5 en calculant u1, u2, u3 et u4. Suites bornées. Une suite est dite bornée si elle ne dépasse pas une certaine borne !
Calculons S10 = U0+U1+................+U10. D'abord calculons U10 = U0+ 10×r = -2 + 10×3 = 28. S10 = 11 × (-2 + 28)/2 = 11 × 26/2 = 11 × 13 = 143.
→ U10 = U1 + 9 x 5
Plus généralement, exprimer Un en fonction de U1 et n.
Le terme général d'une suite arithmétique de raison est u n = u 0 + n r .
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
Tu dois savoir qu'il y a 2 types de suites que l'on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques.
La suite logique : 4, 6, 15, 105, ? Cette suite logique consiste à soustraire le carré du nombre par le même nombre initial, puis de diviser le résultat par deux, comme suit : (4 × 4 − 4) / 2 = 6. (6 × 6 − 6) / 2 = 15.
A partir d'une suite, les mathématiciens définissent sa somme partielle, l'addition des k premiers termes de la suite : pour la suite (un), la somme partielle vaut ∑kn=0un.
Calcul d'une somme infinie: démonstration mathématique
Posons:f(x)=∑n≥0xn. C'est une somme géométrique qui converge lorsque 0 < x < 1. Dans ce cas:f(x)=11−x,0<x<1.
u6 = 38400−6×400= 36000. La production après 6 mois est de 36 000 unités.
Ainsi, u1 = 2 100, v1 −1 800 et w1 = 2 300. On étudie l'évolution des salaires et leur cumul sur une carrière complète (42 ans).