Grâce à la méthode de Gauss, on a trouvé : ϕ ( ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 4 [ ( x 2 + x 1 + x 3 ) 2 − ( x 2 + x 1 − x 3 ) 2 ] . Alors la signature de est . Son rang est égal à 2, elle est dégénérée et n'est pas positive.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, B une base de E et q une forme quadratique sur E . Soit φ la forme polaire de q , c'est-à-dire l'unique forme bilinéaire symétrique sur E telle que, pour tout x de E, q(x)=φ(x,x) q ( x ) = φ ( x , x ) .
1.9. La forme quadratique q est dite positive si q(x) ≥ 0 pour tout x ∈ E (donc, si s = 0). La forme quadratique q est dite définie positive si q(x) > 0 pour tout x non-nul (donc, si r = dim(E)).
Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ∈ E ; ϕ(x, y)=0}. Proposition 15 – Ker q est un sous-espace vectoriel de E. Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ϕ est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0}, o`u q est la forme quadratique associée `a ϕ.
Soit f(x) = ax2 + bx + c. Les zéros de la fonction f(x) correspondent aux solutions de l'équation ax2 + bx + c = 0. x2 - x +4=0. Rappel 3.1 Un point (x;y) fait partie d'une courbe si ses coordonnées satisfont l'équation de cette courbe.
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = φ ( x , x ) .
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
En particulier, la décomposition de Gauss permet de calculer la signature d'une forme quadratique. Décrivons cette méthode. On écrit d'abord la forme quadratique dans une base : Q(x)=n∑i=1ai,ix2i+∑1≤i≠j≤nai,jxixj. Q ( x ) = ∑ i = 1 n a i , i x i 2 + ∑ 1 ≤ i ≠ j ≤ n a i , j x i x j .
Une base est orthogonale relativement à une forme bilinéaire symétrique si et seulement si la matrice associée à par rapport à cette base est une matrice diagonale, les termes de la diagonale principale pouvant être nuls ou non.
Polynômes quadratiques
On dit qu'un polynôme quadratique de la forme P(x)=ax2+bx+c est irréductible s'il n'est pas factorisable, c'est-à-dire si on ne peut pas le décomposer en un produit de deux facteurs de degré 1. Voici la règle à respecter : Si b2−4ac<0, alors P(x)=ax2+bx+c est irréductible.
Une fonction quadratique est un type de fonction caractérisé par le fait qu'il s'agit d'un polynôme du second degré. En d'autres termes, une fonction quadratique est une fonction dans laquelle l'un des éléments a un petit 2 comme indice supérieur. Une fonction quadratique est aussi appelée fonction du second degré.
Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut : échanger les deux coefficients diagonaux. changer le signe des deux autres. diviser tous les coefficients par le déterminant.
La matrice associée à une application linéaire L par rapport à des bases données est formée à l'aide des images par L des vecteurs de la base de départ : les colonnes de la matrice sont données par les coordonnées de ces images sur les vecteurs de la base d'arrivée.
On appelle matrice de la forme bilinéaire φ dans la base B la matrice A=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝φ(e1,e1)φ(e1,e2)… φ(e1,en)φ(e2,e1)φ(e2,e2)… φ(e2,en)⋮⋮⋮⋮φ(en,e1)φ(en,e2)… φ(en,en)⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire.
Les coordonnées à l'origine d'une fonction
L'ordonnée à l'origine d'une fonction est la valeur en y du point qui se trouve directement sur l'axe des ordonnées. Conséquemment, les coordonnées d'un tel point s'écrivent (0,y) . On parle aussi de la valeur initiale de la fonction.
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
L'abscisse à l'origine est la valeur de l'abscisse (x) lorsque l'ordonnée (y) vaut zéro. Autrement dit, c'est l'endroit sur le graphique où la droite croise l'axe des abscisses.
Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Définir la notion de matrice inverse. Donner un moyen simple d'obtenir la matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2. Pour tout nombre non nul X, il existe un unique nombre Y tel que X Y = Y X = 1. On dit alors que X est inversible de nombre inverse Y ; on note Y = X -1 = .