Pour calculer la quantité de matière demandée, il faut donc utiliser la formule n = C × V, où n représente la quantité de matière d'ions argent. On notera donc n(Ag+) cette quantité.
Sn = n (n + 1) 2 . Au passage, on a obtenu une formule pour la somme des n premiers entiers naturels pairs : 2+4+6+ ··· + (2n − 2) + 2n = [(n + 1) × n − 1 × 0] = n (n + 1).
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. r . On peut la définir par récurrence : on donne la valeur de u0 et on on pose un+1=un+r. u n + 1 = u n + r .
Le terme général d'une suite arithmétique (Un) est donné par la formule suivante: Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial).
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 . Ce résultat signifie que, pour déterminer la raison, il faut retrancher au dernier terme le premier, puis diviser le résultat obtenu par le nombre de termes diminué de 1.
Ici, dans les expressions obtenues, on aura u1 en fonction de u0 ; u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u2... Comme u0 = 1, on a u0+1 = −3u0 +2 soit u1 = −3×1+2 = −1 u1+1 = −3u1 +2 soit u2 = −3×(−1)+2 = 5 u3 = −3u2 +2 = −3×5+2 = −13 u4 = −3u3 +2 = −3×(−13)+2 = 41 u5 = −3u4 +2 = −3×41+2 = −121.
Soit la suite (Un), Un=1= 1/n! et la suite Vn= 1/2^n pour tout n appartient a N.
En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Les éléments additionnés s'appellent les termes de la somme.
N désigne l'ensemble des nombres entiers naturels, on peut les lister et écrire : N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Z désigne l'ensemble des nombres relatifs, on peut les lister ... Les dix chiffres utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Calculer u12. Réponse : D'après la deuxième formule, u12 = u0 + 12 × r = 5 + 12 × 7 = 5 + 84 = 89. 2) Soit v la suite arithmétique de raison r=3 telle que u5=49.
Forme explicite d'une suite arithmétique
un = u0 +nr. ☞ Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et k,ona: un = uk +(n −k)r.
Pour trouver la raison d'une suite géométrique avec deux termes, il faut donc suivre les étapes suivantes: Exprimer les deux termes donnés avec la formule en fonction de n. Réaliser le quotient de ces deux termes et simplifier. Utiliser la racine carrée ou la racine cubique pour trouver la valeur de la raison.
pour tout n ∈ N, on a un = u0 × qn ; • pour tous n, p ∈ N, n>p on a un = up × qn−p. Propriété 4. Soit (un)n∈N la suite géométrique de premier terme u0 = 3 de raison q =2: • la formule par récurrence donne un+1 = 2 un ; la formule explicite donne un = 3 × 2n ; le terme de rang 5 est : u5 = 3 × 25 = 96.
De plus, u50 = u0 +50r, soit u0 = u50 −50r = 406−50×8 = 6 2.
→ U10 = U1 + 9 x 5
Plus généralement, exprimer Un en fonction de U1 et n.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15. L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × (1,2)n. On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q.
On considère une suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1=f(un) où f est une fonction donnée. De plus, le premier terme u0 est également connu. Si l'exercice demande de calculer u1, on peut se servir de la relation un+1=f(un) en remplaçant n par 0. On obtient alors u0+1=f(u0), c'est à dire u1=f(u0).
Par exemple, un+1 est le terme de rang n + 1 (celui qui suit un) alors que un +1 est le terme de rang n augmenté de 1. 2) Attention ! (un ) désigne la suite alors que un est un nombre. 3) Une suite n'est pas forcément définie à partir de n = 0.
Solution 3. La suite est 10, 20, 40, 80, 160. La somme est 310.
1) On sait que Un = U1 + r × (n − 1) d'où U5 = U1 + 3 × (5 − 1) = 8 donc U1 = 8 – 12 ; U1= −4 U20 = U1 + r × (20 − 1) = −4 + 3 × (20 − 1) = 53 ; U20 = 53 et U101 = −4 + 3 × (101 − 1) = 296. 2) On a U3 − U8 = U1 + r × (3 − 1) − [U1 + r × (8 − 1) ] = 2r − 7r = − 5r or U3 − U8= 23 − 7 = 16 Donc −5r = 16 d' où r = −16/5.