On appelle suite implicite une suite (un) telle que un est l'unique solution d'une certaine équation.
Suite implicite
Les termes de la suite sont définis comme solutions d'une équation (dépendant de l'indice n ) que l'on ne cherche pas à expliciter. f n est continue et strictement décroissante sur ℝ + . Donc elle est bijective de ℝ + sur ] lim + ∞ f n , f n ( 0 ) ] = ] − ∞ , 1 ] .
Définition. Une relation de récurrence est une équation qui exprime chaque élément de la suite comme une fonction des éléments précédents.
Si une suite s'exprime sous la forme explicite u n = A × B n , alors cette suite est géométrique de raison .
Comment savoir si une suite est explicite ou récurrente? Une suite numérique peut se définir de deux façon :- de manière explicite : chaque terme de la suite peut être calculé à partir de son rang. On dit que u(n) est fonction de n. - de manière récurrente : chaque terme s'obtient grâce au terme précédent.
Pour calculer un terme avec une formule explicite, il suffit de remplacer n par le rang du terme voulu. --- inutile de passer en mode suite, vous pouvez rester en mode fonction. après avoir taper sur la touche f(x), vous rentrez la formule de la suite en utilisant la lettre x.
Pour conjecturer la limite d'une suite, il suffit de calculer quelques valeurs de la suite, avec une calculatrice par exemple, et de voir si un motif ressort. Les trois premiers termes de la suite définie par u n = sin pour n ≥ 1 sont 0,841 , 0,457 , 0,047 .
Définition (Limite d'une fonction en un point) Soient f : D −→ une fonction, a ∈ adhérent à D et ℓ ∈ . On dit que f admet ℓ pour limite en a si : ∀Vℓ ∈ ℓ(), ∃ Va ∈ a(), ∀x ∈ D ∩ Va, f (x) ∈ Vℓ.
Pour déterminer la limite à l'infini d'une fonction du quotient, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par l'inverse du terme de plus haut degré. Le numérateur du quotient est un polynôme, où le terme de plus haut degré est 𝑥 .
f(x) = x + 1/x n'a pas de limite quand x tend vers + l'infini. Elle a une asymptote mais qui n'est pas verticale. la limite de f quand x tend vers … ce qu'on veut, n'existe pas.
et pourtant f n'admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0). L'idée est tr`es simple : pour faire tendre x vers x0, on peut prendre une suite qui converge vers x0. Mais alors, la suite (un) converge vers x0 et la suite f(un) ne converge pas vers l.
Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite. On commence par démontrer que les hypothèses entrainent que, pour tout n∈N n ∈ N , on a un≤vn u n ≤ v n . Pour cela, on remarque que la suite (vn−un) ( v n − u n ) est décroissante et tend vers 0 0 .
La limite d'une suite peut être un réel. Celui-ci n'est atteint qu'à l'infini. C'est-à-dire que, dans la plupart des cas, les valeurs de la suite progressent vers lui sans jamais l'atteindre (comme la fonction inverse progresse vers 0 sans jamais lui être égale).
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Une suite peut être définie par une formule explicite permettant de calculer directement un terme de rang quelconque. Par exemple, la suite 2,5,8,... peut être définie par la formule 2+3(n-1).
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
On dit qu'une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A. On dit qu'une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Si la suite (Un) est à termes strictement positifs on peut calculer le quotient : Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est croissante. Si pour tout entier n, Un> 0 et 1 alors la suite (Un) est décroissante.
On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x). Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.
- Limites à l'infini
Lorsque la variable x prend des valeurs très grandes (positivement ou négativement), on dit que x tend vers plus ou moins l'infini. Dans ce cas, on distingue les cas où f ( x ) f(x) f(x) se rapproche d'une valeur finie et ceux où f ( x ) f(x) f(x) s'éloigne vers l'infini.