En mathématiques, la parité d'une fonction d'une variable réelle, complexe ou vectorielle est une propriété qui requiert d'abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine, puis s'exprime par l'une ou l'autre des relations suivantes : fonction paire : pour tout x du domaine de définition, f = f ;
A
f est une fonction paire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=f(x). f est une fonction impaire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=−f(x). f est une fonction périodique de période T lorsque, pour tout réel x de Df, x+T∈Df et f(x+T)=f(x).
En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, telles les fonctions constantes, la fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d'exposant pair, les fonctions cosinus et cosinus hyperbolique…
Une fonction f de domaine de définition D est dite paire (respectivement impaire) si et seulement si: pour tout élément x de D , -x appartient aussi à D et f(-x)=f(x) (respectivement f(-x)=-f(x)).
Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire. Dans les autres cas, appliquer la méthode pour montrer qu'elle n'est ni paire, ni impaire.
Exemple : Déterminer la parité de f(x)=x2 f ( x ) = x 2 (fonction carrée) dans R , le calcul est f(−x)=(−x)2=x2=f(x) f ( − x ) = ( − x ) 2 = x 2 = f ( x ) , donc la fonction carré f(x) est paire.
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Parité La fonction cube est impaire. La représentation graphique de la fonction cube admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
La fonction racine carrée n'est ni paire, ni impaire.
La fonction inverse est impaire puisque quel que soit x non nul, f(−x) est égal à −f(x). − f ( x ) . Par exemple, si x est égal à 2, f(−2) est égal à 1−2 et −f(2) est égal à −12.
Conclusion. De façon générale, la parité d'une fonction polynôme dépend de la parité des exposants de chacun de ses termes. Une fonction polynôme est paire si chacun de ses termes est de degré pair. Une fonction polynôme est impaire si chacun de ses termes est de degré impair.
Représentation graphique
La fonction cube n'admet pas d'extremum sur R, c'est-à-dire qu'elle n'admet pas de valeur maximale ou minimale. La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
les nombres pairs sont ceux qui se terminent par l'un des chiffres suivants : 0, 2, 4, 6, 8. les nombres impairs sont ceux qui se terminent par l'un des chiffres suivants : 1, 3, 5, 7, 9.
Liste des semaines paires de l'année 2022
Le calendrier 2022 compte 26 semaines paires : les semaines N°2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 et 52.
Les fonctions paires
On dit qu'une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction f représentée ici est un exemple de fonction paire. Faites glisser le point le long de l'axe des x de droite à gauche.
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
Ainsi, pour tous réels a et b strictement négatifs, si a < b alors f (a) > f (b). Ainsi, pour tous réels a et b strictement positifs, si a < b alors f (a) > f (b). La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[.
En mathématique, une « machine » ou une « chaine de machine » qui transforme un nombre est appelé une fonction. x est le nombre de départ, on l'appelle l'antécédent. 3x + 15 est le nombre d'arrivée. On le note f(x) = 3x + 15 et on l'appelle l'image de x.
Si une fonction f est définie et continue sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] ; alors, pour tout réel k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f ( c ) = k f(c)=k f(c)=k.
De manière plus rigoureuse, on dit qu'une fonction définie sur A sous-ensemble de ℂ, par exemple, est une fonction nulle (ou est la fonction nulle de A) si c'est la restriction à A de la fonction nulle précédente (autrement dit, si ∀ x ∈ A, ƒ(x) = 0 et si ƒ n'est pas définie en dehors de A).
22 est un nombre pair, puisqu'il est divisible par 2 : 22 / 2 = 11.
Les nombres impairs compris entre 0 et 100 sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97 et 99. Par exemple, 77 est impair car on peut écrire 77 = 2 × 38 + 1.
Pourquoi, mathématiquement, le zéro est-il un nombre pair ? Un nombre est pair si c'est un multiple entier de 2. Zéro est un multiple entier de 2, car 0 × 2 = 0, donc 0 est pair. Par ailleurs, une autre preuve est que le zéro possède de chaque côté deux nombres impairs : -1 et +1.