Relatif à ce qui n'est pas linéaire, c'est-à-dire dont la variation ne peut pas être représentée par une ligne droite. Exemple : Une fonction non-linéaire n'est pas une fonction du premier degré.
Re : Fonction affine non linéaire
Les fonctions linéaires sont de la forme f(x) = ax. Les fonctions affines de la forme f(x) = ax + b. Donc si b =/=0 la fonction affine n'est pas linéaire.
La non-linéarité est la particularité, en mathématiques, de systèmes dont le comportement n'est pas linéaire, c'est-à-dire soit ne satisfaisant pas le principe de superposition, soit dont la sortie n'est pas proportionnelle à l'entrée.
Il s'agit d'équations différentielles de Bernoulli, c'est-à-dire d'équations de la forme y′+p(x)y=q(x)yβ. y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y β . On les résout par le changement de fonction inconnue z=y1−β. z = y 1 − β .
Enfin, si f est deux fois différentiable en x ∈ E, on a besoin d'une base de E pour définir la matrice hessienne en x, et cette matrice hessienne dépend de la base choisie. g(x)=0 si et seulement si f(x) = x. Résoudre le système non linéaire (2.1) revient donc à trouver un point fixe de f.
L'analyse numérique a pour propos la recherche et l'optimisation de méthodes qui permettent d'approcher la solution d'un problème mathématique pour lequel la solution exacte est inaccessible.
Le principal avantage pratique de cette méthode est sa robustesse, puisque si f est continue, alors l'algorithme est théoriquement convergent (la taille de l'intervalle de recherche tend vers zéro).
Re : equation différentielle non linéaire
Il ne s'agit pas de linéarité relativement à la variable x. Une équation différentielle dite "linéaire", dont la fonction recherchée est y et dont la variable est x, ne peut pas contenir de terme en y², ni (y')², ni exp(y), ni cos(y') par exemple.
Résoudre le problème de Cauchy : y (t) = y(t)(y(t) − 1)(t + 1), y(0) = 2 4 Page 5 Solution. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence d'une unique solution au voisinage de la condition initiale (0,2). Pour calculer cette solution on procède par separation des variables.
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y′(x)=a(x)y(x)+b(x) y ′ ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b ( x ) , où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R . Si a et b sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants.
On peut aussi déterminer une fonction linéaire à partir de la droite D qui la représente graphiquement : les coordonnées (x ; y) d'un point de D correspondent à un nombre, x, et à son image, y, par la fonction. Une fonction linéaire f est telle que f(-3) = 18.
Une fonction linéaire est une fonction simple des mathématiques élémentaires, qui traduit la proportionnalité et qui se traduit en langage mathématique par les termes f(x) = ax. Exemple : f(x)=2x, f(5)=2*5 = 10 on remplace x par 5.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées (0 ; b). Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite.
Il existe plusieurs types de fonctions. On travaillera ici sur les fonctions affines, les fonctions polynômes du second degré et les fonctions homographiques. La fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe ax+b où a et b sont deux réels donnés.
On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante. * On considère deux grandeurs x et y telles que : y soit proportionnelle à x. En conséquence, il existe un nombre a tel que : y = a x.
Solution maximale : une solution locale (J, x) est dite maximale si elle n'a pas d'autre prolongement qu'elle même ; Solution globale : une solution locale (J, x) est dite globale si elle est définie partout, i.e. si I = J.
Une fonction f : U → Rm où U est un ouvert de R ×Rm est dite localement lipschitzienne en y si pour tout point (t0, x0) ∈ U il existe un cylindre de C0 = [t0 − T0, t0 + T0] × B(y0, r0) et une constante j ≥ 0 tel que f soit k-lipschitzienne en y sur C0 : ∀(t, y1), (t, y2) ∈ C0, f(t, y1) − f(t, y2) ≤ k y1 − y2 .
On parle souvent de solution particulière pour signaler une solution arbitraire dans un contexte où il y a "beaucoup" de solutions, et éventuellement l'ensemble de toutes les solutions est présenté à l'aide de cette solution particulière.
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
Méthode : Pour trouver une solution particulière de y +a(x)y = δ(x), on peut chercher sous la forme x ↦→ C(x)h(x) où h est solution de l'équation homogène.
Dispute et altercation, sont des mots synonymes.
on dit que la convergence est d'ordre au moins p. Dans le cas p = 1, on doit avoir de plus C < 1. g : I ⊂ R → R (I intervalle de R) x ↦→ g(x) On dit que α est un zéro de g si g(α) = 0.
Théorème du point fixe
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I dans lui‑même et (un) la suite définie par un réel u0∈I et, pour tout n∈N, un+1=f(un). Si (un) converge vers ℓ∈I, alors ℓ est solution de l'équation f(x)=x.