En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l'espace est constitué d'un point et d'une base de l'espace. La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de et : . Soit k un réel quelconque.
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut : chercher une famille génératrice B de F ; si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Ainsi, deux vecteurs u ⃗ \vec u u et v ⃗ \vec v v non colinéaires forment une base notée ( u ⃗ , v ⃗ ) \big(\vec u\ ,\ \vec v\big) (u , v ).
1. Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.
Le problème va être d'arriver à prouver que deux vecteurs sont colinéaires : il suffira de « penser BASE » . . . Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont PAS colinéaires.
Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l'espace. On note (i , j , k ) une base de l'espace. Soit (i , j , k ) une base de l'espace. Pour tout vecteur w de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tel que w =xi +yj +zk .
(U,V)=(2i,-j) signifie que u=2i et v=-j. (i,j) étant une base, alors les vecteurs i et j sont non colinéaires. Ainsi, comme u est colinéaire à i, et v est colinéaire à j, alors (u,v) est aussi une base.
En géométrie plane, la base désigne : le côté inférieur (supposé horizontal) d'une figure plane (par exemple un triangle, un parallélogramme ou un trapèze). Sa longueur sert à calculer l'aire de cette figure.
En d'autres termes, l'espace nul est l'objet final de la catégorie des K-espaces vectoriels.
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .
Trouver une base du noyau de f := (x,y,z) ↦→ (x − y + z,−x + y − z). Trouver la dimension du noyau de f := (x,y,z,t) ↦→ (x + 5y + 7t,2x + 4y + 6z + t). C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de départ diminué du rang de la matrice.
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,...,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,...,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b deux bases de E.
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. On peut aussi définir un repère à l'aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires.
La mesure de la base : la base représente un des côtés du triangle. La mesure de la hauteur : la hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé (c'est-à-dire la base) à ce sommet.
Le périmètre est la longueur du pourtour d'une figure géométrique, et l'aire est la mesure de sa surface.
Dire que (u1,...,up) est une famille libre de E, c'est dire que la seule solution du syst`eme est pour tout i, λi = 0. Ce syst`eme triangulaire a pour unique solution λ1 = λ2 = λ3 = 0. Donc (u, v, w) est une famille libre donc une base de R3.
le cardinal d'une base c'est le nombre de vecteurs que comporte la base.
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si, en multipliant les composantes de l'un des vecteurs par un scalaire k (constante), on obtient les composantes de l'autre vecteur. Donc, si le vecteur →u est colinéaire au vecteur →v , alors il existe un scalaire k tel que →u=k→v u → = k v → .
Propriétés des espaces vectoriels de dimension finie
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n. Pour qu'une famille d'exactement n vecteurs soit une base, il suffit qu'elle soit libre ou génératrice : elle est alors les deux.
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l'on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u + v (ou u − v) et aussi afin que l'on puisse multiplier chaque vecteur u d'un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u.
En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases.