Un repère normé est un repère où les longueurs O I OI OI et O J OJ OJ sont égales.
Si les deux vecteurs sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal. Si les deux vecteurs ont la même longueur, on dit que le repère est normé.
En mathématiques un repère permet d'identifier par une liste de coordonnées chaque point d'une droite, d'un plan ou plus généralement d'un espace affine. Ce procédé fonde la géométrie analytique, dans laquelle les transformations géométriques peuvent être étudiées par leur expression.
Nous devons identifier lequel des repères est quelconque, c'est-à-dire celui qui a des axes non perpendiculaires.
Un repère du plan est défini par trois points non alignés (O,I,J). Le point O est l'origine du repère, la droite (OI) est appelée l'axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l'axe des ordonnées. On peut aussi définir un repère à l'aide des vecteurs. Si on pose le repère sera noté avec deux vecteurs non colinéaires.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal. Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu'en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).
Ortho- signifie « droit » et normé veut dire que l'on a divisé un vecteur par sa norme (sa longueur) ; en gros, qu'on a raccourci i et j pour leur donner une longueur (pour les vecteurs, on parle de norme) égale à 1.
Une droite graduée est une droite qui contient un point nommé Origine, un autre appelé Unité et un sens. Définition 2 : Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l'abscisse de ce point.
Les deux axes gradués nécessaires à un repère peuvent être définis par 3 points notés en général O, I et J: - O est l'origine, point commun aux deux axes, valeur zéro des graduations. Les deux axes sont perpendiculaires et portents des graduations identiques (le point O est équidistant de I et J).
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
Un repère de l'espace est constitué de 3 axes : celui des abscisses, celui des ordonnées et celui des cotes. Les coordonnées d'un point de l'espace sont constituées de 3 nombres : l'abscisse, l'ordonnée et la cote de ce point, lisibles sur les axes du même nom.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Définition : Norme d'un vecteur
La norme du vecteur ⃑ 𝑣 , notée ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ , est la longueur du vecteur ou la distance entre ses extrémités. En particulier, un vecteur unitaire est un vecteur de norme égale à 1. Nous rappelons les deux vecteurs unitaires de base en deux dimensions ⃑ 𝑖 = ( 1 , 0 ) , ⃑ 𝑗 = ( 0 , 1 ) .
La norme : intensité de la force, elle est mesurée en newtons (N) ; Le point d'application : endroit où la force s'exerce.
Un petit moyen mnémotechnique pour ne pas confondre abscisse et ordonnée: Ecrite en script, l'initiale de abscisse se prolonge sur l'horizontale. "Abscisse" désigne donc l'axe horizontal d'un repère. La boucle du o se prolonge verticalement, "ordonnée" désigne donc l'axe vertical d'un repère.
Pour trouver son abscisse, on trace une parallèle à l'axe des ordonnées ; on lit alors l'abscisse du point à l' intersection avec l'axe horizontal. Pour trouver son ordonnée, on trace une parallèle à l'axe des abscisses ; on lit alors l'ordonnée du point à l' intersection avec l'axe vertical.
L'ordonnée du point d'abscisse 4 est -2. Question 4 : Quelles sont les abscisses des points dont l'ordonnée est 2 ? Il y a trois point dont l'ordonnée est 2 : le premier a pour abscisse -4, le deuxième 0 et le troisième 8.
Un repère orthogonal est un repère où les axes sont perpendiculaires.
Quatre points, tous dans un plan différent, O, I, J, K définissent un repère de l'espace. Si les droites (OI), (OJ) et (OK) sont perpendiculaires deux à deux et si OI = OJ = OK = 1 unité, le repère (O, I, J, K) est orthonormal. Remarque : Un « coin » de cube donne une bonne image de ce repère.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale aux droites du plan.
Le point A est associé à 2 nombres relatifs (2 et -3) qui sont ses coordonnées: Le 1er nombre (2) est l'abscisse: il indique la position sur l'axe horizontal. Le 2e nombre (-3) est l'ordonnée: il indique la position sur l'axe vertical.
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue du sommet opposé au plus grand côté vaut la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle.