Polynôme : qu'est-ce que c'est ? Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
Pour déterminer s'il s'agit d'un polynôme, nous devons d'abord vérifier si chacun des cinq termes est monôme. Cela signifie qu'elles doivent être le produit de constantes et de variables et que les variables doivent avoir des exposants positifs.
Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme : où X est un symbole appelé « indéterminée du polynôme », supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients ai sont dans l'anneau et n est un entier naturel.
Dans le cas général, un polynôme formel P quelconque prend la forme suivante, si ai désigne un nombre et i est un entier variant de 0 à n : Les additions se font comme pour les nombres usuels, ainsi aXn + bXn est égal à (a + b)Xn.
Les exposants dans les monômes, les binômes, les trinômes et les polynômes sont toujours des nombres naturels. 3x1/2+2x−4 3 x 1 / 2 + 2 x − 4 n'est pas un polynôme puisque l'exposant de la variable x n'est pas un nombre naturel.
Polynôme : qu'est-ce que c'est ? Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
Pour décomposer un polynôme P∈R[X] P ∈ R [ X ] en produits d'irréductibles de R[X] , peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de C[X] , puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
On dit que a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est 1 (ou −1). On note alors : a∧b = 1. Par la relation de Bézout, il existe u et v tels que au + bv = 1. On a alors une réciproque : s'il existe u et v tels que au + bv = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
En algèbre, un monôme est un polynôme dont un seul coefficient est non nul. Autrement dit, c'est un polynôme particulier qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées (notées X, Y…) affecté d'un coefficient. sont des monômes en une indéterminée.
En mathématiques, un polynôme constant est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls à l'exception éventuelle du coefficient constant. Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R dont une expression est de la forme ax2+bx+c, où a, b et c sont des réels tels que a=0.
Une fonction de variation partielle (polynomiale de degré 1) est une fonction où des variations constantes de la variable indépendante (x) entrainent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante (y) .
Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on appelle le discriminant. Δ = b² - 4ac. Pour tout x appartenant à ]-∞ ; x1[ ∪]x2 ; +∞[, P(x) est de même signe que le coefficient a.
Règle. Les principales étapes de cette méthode de résolution sont : On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme ax2+bx+c=0 a x 2 + b x + c = 0 , si ce n'est pas déjà le cas. On évalue le discriminant b2−4ac b 2 − 4 a c et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
Les racines d'une fonction polynôme de degré 3 du type x → a(x – x1)(x – x2)(x – x3) sont x1, x2 et x3. La fonction f : x → 2(x – 2)(x + 1)(x + 2) admet 3 racines : –2 ; –1 et 2. En effet, f(–2) = f(–1) = f(2) = 0.
Pour des polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x2y2 + 3x3 + 4y est de degré 4, le degré du terme x2y2.
Multiplier deux polynômes implique l'utilisation des règles sur les puissances et la distributivité de la multiplication sur l'addition. Diviser deux monômes, revient à diviser les coefficients, puis à diviser les variables semblables en soustrayant les exposants.
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Le nombre 588 peut se décomposer sous la forme 588 = 22 ×3×72.
Pour trouver les zéros d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme factorisée f(x)=a(x−x1)(x−x2), f ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) , il suffit de déterminer la valeur de x1 et x2 à l'aide de la règle. L'avantage de cette forme d'écriture est qu'elle donne directement la valeur des zéros.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
On va vérifier qu'il s'agit bien de la forme canonique. La forme canonique est donc bien : f ( x ) = ( x − 1 ) 2 + 0 .