Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels. La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré.
En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme ax3 + bx2 + cx + d = 0 avec a non nul, où les coefficients a, b, c et d sont en général supposés réels ou complexes.
Résoudre l'équation x3 = c (avec ) revient à chercher le nombre x tel que x × x × x = c. Ce nombre est unique, car pour tout nombre réel c, la droite d'équation y = c ne coupe qu'une seule et unique fois la courbe représentative de la fonction x → x3. L'équation x3 = 8 admet une unique solution x = 2 car 2 × 2 × 2 = 8.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction polynome du 3° degré, il suffit de déterminer l'expression de sa fonction dérivée ( qui sera du 2° degré ), puis d'étudier son signe et de conclure avec le théorème.
Par conséquent, pour trouver les zéros de cette fonction, nous devons résoudre l'équation 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 . Voici l'équation 1 3 ( 𝑥 − 4 ) = 0 . La multiplication par 3 donne 3 × 1 3 ( 𝑥 − 4 ) = 3 × 0 𝑥 − 4 = 0 . On ajoute ensuite 4 aux deux membres de l'équation 𝑥 − 4 + 4 = 0 + 4 𝑥 = 4 .
Sachant aujourd'hui que tout nombre complexe non nul admet trois racines cubiques distinctes, on en déduit que si D est négatif, l'équation du 3e degré possède trois solutions réelles distinctes.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0.
Pour des polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x2y2 + 3x3 + 4y est de degré 4, le degré du terme x2y2.
Pour déterminer s'il s'agit d'un polynôme, nous devons d'abord vérifier si chacun des cinq termes est monôme. Cela signifie qu'elles doivent être le produit de constantes et de variables et que les variables doivent avoir des exposants positifs.
Théorème 1. x 3 + p x + q = 0 x^3 + p x + q = 0 x3+px+q=0. Cette formule permet de calculer une solution de l'équation, dans le cas où il n'y a pas de racine évidente.
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs.
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Comment trouver la racine évidente ? Lorsque l'énoncé demande de chercher une racine évidente, il s'agit d'utiliser sa calculatrice pour calculer le polynôme en certaines valeurs ($-3\ ; -2\ ; -1\ ; 0\ ; 1\ ; 2\ ; 3$). On trouve à l'aide de la calculatrice que $-2$ est une racine, c'est-à-dire $P(-2) = 0$.
Il existe un moyen de résoudre une équation du second degré sans passer par le calcul du discriminant: la factorisation. Cette méthode consiste à trouver une relation entre le produit de a par c d'une part, et b de l'autre.
Mais on les utilise également à l'envers pour factoriser.
Il y en a trois, à apprendre par cœur : (a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b², (a+b) (a-b) = a² - b².
Factoriser un polynôme du second degré consiste à l'écrire sous la forme d'un produit de polynôme du premier degré. Ce n'est possible que si la fonction polynôme possède 1 ou 2 racines. Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit sous la forme où , , sont des réels avec .
La forme canonique est une forme d'écriture paramétrique de l'équation d'une fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure de son graphique. On l'appelle aussi forme transformée.
Enfin, pour résoudre une équation cubique de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏 le tout au cube plus 𝑐 est égal à 𝑑, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des constantes et 𝑎 est non nulle, nous réarrangeons l'équation pour isoler 𝑥. Cela nous donne 𝑥 est égal à la racine cubique de 𝑑 moins 𝑐 moins 𝑏 le tout divisé par 𝑎.
* Si a = b = 0, l'expression devient : f (x) = 0 . On obtient alors la fonction nulle.
Abscisse à l'origine
La valeur de x pour un point (x, y) sur l'axe des abscisses (axe des x) lorsque y est égal à zéro. Voir aussi Ordonnée à l'origine.