En mathématiques, le module d'un nombre complexe est le nombre réel positif qui mesure sa « taille » et généralise la valeur absolue d'un nombre réel. Cette notion est notamment utile pour définir une distance sur le plan complexe.
Ce cours de mathématiques est la suite de Module d'un nombre complexe : définition et propriétés importantes. Parmi les nombres complexes, il existe un sous-ensemble remarquable : ceux dont le module vaut 1. Zoom sur le groupe \mathbb{U}.
Un nombre complexe correspond à une extension d'un nombre réel, sans représentation dans le monde sensible. Utilisé pour résoudre des équations mathématiques complexes, il peut être algébrique, vectoriel ou encore exponentiel.
Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z, le nombre réel positif, noté z , égal à a2 + b2 . M est un point d'affixe z. Alors le module de z est égal à la distance OM.
Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est dit réel. Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs.
L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière. est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée ez ou exp(z).
Un complexe se note souvent z, et s'écrit sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, par exemple 3 + 4i, 5 – 2i, -8 + 7i… a est la partie RÉELLE, tandis que b est ce que l'on appelle la partie IMAGINAIRE.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Le module est la longueur (valeur absolue) dans le plan complexe qualifiant le nombre complexe z=a+ib z = a + i b (avec a la partie réelle et b la partie imaginaire), il est noté |z| et est égal à |z|=√a2+b2 | z | = a 2 + b 2 .
Afin de calculer le module ∣z∣ et un argument θ d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib.
L'ensemble ? est donc un groupe pour la multiplication des nombres complexes. Les nombres complexes 1, –1, i et –i appartiennent au cercle unité. Le cercle unité est le plus grand sous-groupe borné de ℂ*. Autrement dit, tout sous-groupe borné de ℂ* est inclus dans le cercle unité ?.
Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.
Pour généraliser à deux entiers N et P, on peut dire que N modulo P est le reste de la division euclidienne de N par P. Le modulo est utilisé en arithmétique modulaire, branche de la théorie des nombres dans laquelle on va s'interesser au reste de la division euclidienne d'un nombre par d'autres nombres.
Définition : Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels non nuls tous deux ) un nombre complexe non nul sous la forme algébrique , on appelle argument du nombre complexe z , le nombre réel défini par : où | z | est le module du nombre complexe z .
C'est l'équation de Schrödinger.
Le module d'un réel est sa valeur absolue. Le module de 1 + i est √2.
La forme = a + jb pour le couple (a, b ) est appelée forme cartésienne. La notation « j », au lieu de « i » comme en mathématiques, est spécifique à l'électricité pour éviter la confusion avec le courant.
On dit d'une personne qu'elle est complexée lorsqu'elle est focalisée sur certains de ses défauts, réels ou imaginaires, et que cela entraîne un sentiment d'infériorité. La personne complexée a donc une perception déformée d'elle-même.
Les complexes proviennent très souvent d'un sentiment d'infériorité par rapport à tel ou tel défaut ou manque, qu'il soit réel ou imaginaire. On a tendance alors à se focaliser sur ce complexe qu'il soit un défaut physique ou intellectuel ou lié à l'argent… et à ne plus pouvoir penser à autre chose.
Forme exponentielle des nombres complexes
eiθ=cosθ+isinθ. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.
Donnons les formes exponentielle et trigonométrique 1 - i: Le module de 1 - i est: 1 - i = 12 + 12 => 1 - i = 2. = 2 2 2 - i 2 2 .