Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls. Z∗ (Z étoile) est l' ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro). L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs). Tout nombre dans N est aussi dans Z.
L'ensemble Z vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). N est inclus dans Z.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Symbole. Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
ℝ est le plus grand corps totalement ordonné archimédien. ℝ est l'unique corps totalement ordonné archimédien et complet. ℝ est l'unique corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure. ℝ est l'unique corps totalement ordonné connexe (pour la topologie de l'ordre).
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l'ensemble ℕ est inclus dans l'ensemble ℤ. On note : ℕ ⊂ ℤ.
L'opposé de l'inverse de 3/4 est . 8.
Les différents types de nombres
Exemples : 0 ; 1 ; 2 ; 12 ; 33 ; 2008 sont des entiers naturels. L'ensemble des nombres entiers naturels se note N . Définition : Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et négatifs.
En français, le nombre zéro est considéré tantôt comme étant à la fois positif et négatif, tantôt comme n'étant ni positif, ni négatif.
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul. L'ensemble des nombres relatifs se note . (« Z » est l'initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand). On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Un sous-ensemble quelconque fermé (d'un espace topologique) est fermé (quel que soit l'espace topologique). C'est une tautologie ! En revanche, tous les sous-ensembles de Z sont fermés (et ouverts). La topologie usuelle de Z est la topologie discrète.
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).
Définition 1.1 Z = {(δ, n),n ∈ N∗,δ = +ou−} ∪ {0}. δ est le signe de u n est la valeur absolue de u = (±,n), que l'on note |u|.
Grand N est actuellement une revue Interface reconnue par l'HCERES.
Ce sont les Babyloniens qui vont les premiers utiliser le zéro (vers le IIIe siècle après J. -C.), non pas comme un nombre ni même un chiffre, mais en tant que marqueur signifiant l'absence.
Le nombre 11 (onze) est l'entier naturel qui suit 10 et qui précède 12.
Il peut être positif ou négatif. Par exemple 1/2, 12,45 et 0,415464 sont des nombres décimaux. Par contre, le nombre 1/3 = 0,3333333...
Zéro est considéré à la fois comme un chiffre positif et négatif. L'opposé de "0" (positif) est "0" (négatif). L'opposé de "0" (négatif) est "0" (positif). Sur une droite graduée, 2 nombres opposés sont à égale distance de 0.
Exemples. L'élément opposé de 8 est –8, car : 8 + (–8) = 0.
Pour calculer le double d'un nombre, il suffit de le multiplier par 2. Exemple : 12 × 2 = 24. 24 est le double de 12. On utilise également l'expression "deux fois plus" pour demander le double de quelque chose.
En mathématiques, un nombre entier relatif se compose d'un entier naturel précédé d'un signe positif (+) ou négatif (−). Les entiers positifs s'identifient aux entiers naturels (1, 2, 3, etc.), tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés (− 1, − 2, − 3, etc.).
Parmi l'ensemble des nombres négatifs et positifs, y compris le zéro, un nombre entier est un nombre sans élément décimal ou fractionnaire, tel que -5, 0, 1, 5, 8, 97 et 3043.
Nombre réel supérieur ou égal à zéro. Le seul nombre qui est à la fois positif et négatif est le nombre 0. En général, le signe du nombre entier positif est sous-entendu et on ne l'écrit pas.