Exemple : • Les diviseurs de 42 sont : 1,2,3,6,7,14,21,42.
Par exemple, 6 est le plus grand diviseur commun de 24 et 42, parce que 6 divise 24 (24/6 = 4, reste 0), 6 divise 42 (42/6 = 7, reste 0), et aucun nombre plus gran que 6 ne divise a la fois 24 et 42: 7 divise 42 mais pas 24, 8 divise 24 mais pas 42, 9 ne divise aucun des deux, ...
42 : en effet, 42 est bien un multiple de lui-même, puisque 42 est divisible par 42 (on a 42 / 42 = 1, donc le reste de cette division est bien nul) 84 : en effet, 84 = 42 × 2. 126 : en effet, 126 = 42 × 3. 168 : en effet, 168 = 42 × 4.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés.
Les diviseurs d'un nombre
L'ensemble des diviseurs d'un nombre correspond à tous les nombres entiers qui divisent ce nombre sans qu'il n'y ait de reste. 4 est un diviseur de 24 , car 24÷4=6 24 ÷ 4 = 6 . 5 n'est pas un diviseur de 24 , car 24÷5=4,8 24 ÷ 5 = 4 , 8 (Le quotient n'est pas un nombre entier).
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Exemple : • Les diviseurs de 42 sont : 1,2,3,6,7,14,21,42. Les diviseurs de 51 sont : 1,3,17,51. Les diviseurs communs de 42 et 51 sont 1 et 3, donc 42 et 51 ne sont pas premiers entre eux.
Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs.
Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 7. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 15. Déterminer les diviseurs communs à 20 et 82. Les diviseurs communs à 20 et 82 sont 1 et 2.
Les diviseurs de 50 sont : 1;2; 5; 10 ; 25; 50. Donc : pgcd(25; 50) = 25 (car 50 est un multiple de 25).
Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.
27 est un diviseur de 108, donc 108 a pour diviseur 27. 3. 42 a pour diviseur 14, donc 14 est un diviseur de 42.
d = PGCD (42 ; 60) = 6
D.
b. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21 et 63. c. Les diviseurs communs à 42 et 63 sont 1, 3 7 et 21.
Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1.
Concernant 43, la réponse est : oui, 43 est un nombre premier car il n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même (43). Par conséquent, 43 n'est multiple que de 1 et 43.
Les diviseurs de 40 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40 les diviseurs de 60 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60. Les diviseurs communs de 60 et 40 sont donc 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 et 20. Le plus grand diviseur commun aux deux nombres est 20.
* Trouver le PGCD(16;25) Les diviseurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16 car 16=1×16=2×8=4×4 Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25 car 25=1×25=5×5 1 est donc le seul diviseur commun de 16 et de 25.
Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72. Les diviseurs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Un entier b est un diviseur d'un autre entier a lorsque le reste de la division euclidienne de a par b vaut zéro. On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b. Remarque : Quand un nombre vaut zéro, on dit qu'il est nul.
Il est possible de déterminer à l'aide de techniques mathématiques si un nombre entier est premier ou non. Concernant 8, la réponse est : Non, 8 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 8) est la suivante : 1, 2, 4, 8.
La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 9) est la suivante : 1, 3, 9. Pour que 9 soit un nombre premier, il aurait fallu que 9 ne soit divisible que par lui-même et par 1.