Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Par exemple, la suite. 3,5,7,9,...
Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ? Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, V_{n + 1} = q \times V_n.
Les suites u et v sont donc monotones (et même strictement). . Elle n'est ni croissante, ni décroissante.
Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante. De manière analogue, on définit une suite strictement croissante, strictement décroissante ou strictement monotone lorsque l'inégalité qui lie ses termes est stricte. Une suite est constante si tous ses termes sont égaux.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Une suite (Un) est dite arithmétique si pour tout n entier naturel on a: Un+1=Un+ r où r est la raison de cette suite. Si on obtient une valeur constante alors la suite (Un) est une suite arithmétique. Si on obtient une valeur qui dépend de n alors la suite n'est pas une suite arithmétique.
C'est un indice qui permet de voir si un programme est performant ou pas (en simplifiant beaucoup).
Calculons u 1 u 0 et u 2 u 1 : ² ² u 1 u 0 = 1 ² + 1 / 0 ² + 1 = 2 et ² ² u 2 u 1 = 2 ² + 1 1 ² + 1 = 5 2 . Ces deux nombres sont différents donc la suite ( u n ) n'est pas géométrique.
La suite logique : 4, 6, 15, 105, ? Cette suite logique consiste à soustraire le carré du nombre par le même nombre initial, puis de diviser le résultat par deux, comme suit : (4 × 4 − 4) / 2 = 6. (6 × 6 − 6) / 2 = 15.
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
Si la suite est croissante et majorée, elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Bonjour! La différence entre strictement croissante et croissante réside dans le fait que la première implique que la valeur des données augmente sans interruption, tandis que la seconde implique que la valeur des données peut rester constante à certains moments.
Adjectif. (Mathématiques) Qualifie une fonction à une seule variable, qui n'est pas continue ou uniquement croissante ou décroissante dans un intervalle donné. Cette fonction est caractérisée par une courbe en forme de "U", elle est donc non-monotone.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Définition : Suites stationnaires
Une suite réelle est stationnaire s'il existe un réel et un entier tels que, pour tout entier n ≥ n 0 , on ait u n = a .
— Si x = ax + b cx + d admet une unique solution α, alors la suite auxiliaire définie par Vn = 1 Un − α est arithmétique de raison 2c a + d . — Si x = ax + b cx + d admet deux solutions α et β, alors la suite auxiliaire définie par Vn = Un − β Un − α est géométrique de raison cα + d cβ + d .
Une suite auxiliaire
( v n ) est une suite géométrique de raison a et de premier terme v 0 = u 0 - ℓ . Par conséquent, pour tout entier naturel n, v n = ( u 0 - ℓ ) × a n . Comme pour tout entier naturel n, v n = u n - ℓ ⇔ u n = v n + ℓ , on en déduit que : pour tout entier naturel n, u n = ℓ + ( u 0 - ℓ ) × a n .
Une suite est une succession de termes qui suivent un certain schéma. Elle peut être définie de manière récurrente ou explicite.