Le terme d'homothétie, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé de deux éléments d'origine grecque : le préfixe homo- (ὁμός), « semblable », et thesis (θέσις), « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.
L'homothétie, notée h(O,k), h ( O , k ) , est une transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de réduire une figure selon un rapport d'homothétie k et un centre O. O . Ainsi, une homothétie a pour conséquence d'augmenter ou de diminuer de façon proportionnelle les mesures des côtés d'une figure.
Une homothétie transforme une droite d en une droite d' parallèle à d. Si la droite d passe par le centre de l'homothétie, alors d' = d. Soient A et B deux points de d, et A' et B' leurs images par l'homothétie de centre O et de rapport k.
L'homothétie est la transformation de l'espace (ici le plan) qui dilate les distances par rapport à une origine O. Le rapport k de l'homothétie est le facteur par lequel les distances sont multipliées. Ce rapport peut être négatif.
On construit respectivement les symétriques A', B' et C' de A, B et C par l'homothétie de centre O et de rapport -2. Pour construire A' par exemple : - On trace la droite (OA). - L'image A' de A se trouve de l'autre côté de A par rapport au point O. - OA' = 2 x OA.
Le rapport d'homothétie se calcule TOUJOURS en divisant la distance entre le centre d'homothétie et l'image d'un sommet par la distance entre le centre d'homothétie et le sommet. (OA'/OA ou OB'/OB ou OC'/OC…).
Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d'un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.
On trouve le centre d'homothétie en reliant A à A', B à B' et C à C', en prolongeant ces traits autant que nécessaire afin qu'ils se coupent en un point O. C'est le centre d'homothétie. .
Étymologie. Dérivé régressif de homothétique inventé par le mathématicien Michel Chasles.
Une homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les angles. Une homothétie multiplie les longueurs par \mid k\mid : si \mid k\mid > 1, l'image d'une figure est un agrandissement de cette figure et, si \mid k\mid < 1, l'image d'une figure est une réduction de cette figure.
Transformations : translation, rotation, homothétie.
Ayant choisi un point S qu'on nomme centre d'homothétie et un nombre k qu'on nomme rapport d'homothétie ou rapport de similitude, on appelle homothétique d'un point quelconque M le point M' obtenu en joignant SM et prenant à partir du point S, sur cette droite ou sur son prolongement un segment SM' tel que SM'/SM = k ( ...
On peut déterminer la valeur de k en effectuant une même réaction à différentes températures. On obtient ainsi une série de mesures rassemblant k = f(t). La méthode des vitesses relatives permet de déterminer l'ordre de réaction par rapport à chacun des réactifs.
Une application h:E → F est appelé un "homomorphisme d'espaces vectoriels" ou encore une 'application linéaire', si elle vérifie les conditions: f(u+v)=f(u)+f(v) ∀ (u,v) ∈ E×E. f(λu)=λf(u) ∀ (λ, u) ∈ K×E.
est une homothétie ou une translation. Il faut bien distinguer cette propriété de la conservation du parallélisme : toute transformation affine transforme des droites parallèles en des droites parallèles ; mais seules les homothéties et les translations transforment toute droite en une droite parallèle à elle-même.
On appelle image d'un point, la zone de convergence des rayons, après traversée du système optique (image réelle) ou la zone d'où les rayons semblent provenir (image virtuelle). Lorsque cette zone se réduit à un point, le système est dit stigmatique. En optique, on appelle objet tout ensemble de points lumineux.
Réciproque du théorème de Thalès : Si, d'une part les points A,D,C et d'autre part les points A,E,B sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers rapports de Thalès sont égaux ( A D A C = A E A B ) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Les rapports sont souvent exprimés avec deux points. Quand on établit un rapport de proportionnalité entre deux valeurs, on les sépare par deux points (par exemple, 7 : 13). Quand on veut comparer plusieurs valeurs, on les fait se succéder, en séparant chacune par deux points (par exemple, 10 : 2 : 23).
En particulier une translation ou une homothétie conserve le milieu: Si est le milieu de [AB] , son image est le milieu de [AB]. Cette propriété de conservation du barycentre s'étend au barycentre de trois points ou plus.
Deux cas particuliers doivent être mentionnés : Si k = 1, chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identité : chaque point est envoyé sur lui-même ; Si k = –1, l'homothétie de rapport –1 est la symétrie centrale de centre O.
Définition 1 : On appelle transformation du plan (ou de l'espace) toute fonction bijective du plan (ou de l'espace), c'est-à-dire que tout point du plan (ou de l'espace) possède un et un seul antécédent par cette fonction. Remarque : Une projection sur une droite du plan n'est pas une transformation du plan.
Nombre positif ou négatif qui caractérise une homothétie. Le rapport d'homothétie est le rapport entre une mesure algébrique de la figure image et la mesure algébrique correspondante sur la figure initiale. Voici un exemple où k>1: Dans cette illustration, k=m(O, P′)m(O, P) = −m(O, P′′)m(O, P).