La fonction carré est la fonction f définie sur ℝ qui, à tout réel x, associe son carré x2, soit f(x) = x2. La fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Sur ]−∞ ; 0].
En mathématiques, les variations d'une fonction réelle d'une variable réelle sont le caractère croissant ou décroissant des restrictions de cette fonction aux intervalles sur lesquels elle est monotone. Ces informations sont couramment rassemblées dans un tableau de variations.
Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle I
On sait que si f'(x) est supérieure ou égale 0, alors la la fonction f est croissante sur I. A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I.
La fonction f définie sur R telle que f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2 est appelée fonction carré.
Propriété La fonction carré est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0 [ \left] - \infty ; 0\right[ ]−∞;0[ et strictement croissante sur ]0;∞[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.
L'image de 4 par la fonction carré est 2. 3. Les solutions de l'équation x2=5 sont −5 et 5 .
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
Quelle propriété permet d'affirmer que la figure formée par ces quatre points est un carré ? Ses 4 angles sont droits. Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont même longueur.
Le carré possède plusieurs propriétés : ses côtés opposés sont parallèles; ses diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont isométriques.
Application. Si deux côtés consécutifs d'un parallélogramme sont à la fois perpendiculaires et de même longueur, ou si ses diagonales sont à la fois perpendiculaires et de même longueur, alors on peut dire que c'est un carré.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I, on peut comparer les valeurs de f(a) et f(b) où a et b sont deux réels de l'intervalle I vérifiant a<b.
Définition Etudier le sens des variation d'une fonction, c'est indiquer si elle est strictement croissante ou strictement décroissante ou constante avec les intervalles correspondants. Chercher un extremum, c'est chercher un minimum et/ou un maximum sur l'intervalle donné.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Les flèches servent à décrire les variations sur chaque intervalle, donc une flèche qui monte (de gauche à droite) signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle, si la flèche descend, la fonction est décroissante et si elle est “plate” cela signifie que la fonction est constante sur cet intervalle.
Sens de variation d'une fonction affine
Propriété : Si a est positif, la fonction affine x → ax + b est croissante sur . Si a est négatif, la fonction affine x → ax + b est décroissante sur . Donc la fonction affine est croissante sur .
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits. C'est donc un polygone régulier, qui est à la fois un losange, un rectangle, et par conséquent aussi un parallélogramme particulier.
La diagonale et le côté n'existent que comme composantes du carré ; ils ne peuvent pas exister sans le carré. Par conséquent, le philosophe dit que la diagonale et le côté ne sont rien d'autre que le carré lui-même. Ainsi, en ce qui concerne leur mode d'existence, la diagonale et le côté sont égaux.
Définition : Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Propriété : Si un quadrilatère est un carré alors il possède toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange (et donc d'un parallélogramme). Les côtés en gras sont parallèles.
Les éléments de symétrie du carré
Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
carré n.m. Quadrilatère ayant quatre côtés égaux et quatre angles droits.
Le carré d'un nombre identifié par 2 est une fonction mathématique qui a comme résultat la multiplication du nombre par lui-même. Par exemple si A est un nombre, son carré noté A2 est égal à A * A. On peut simplifier avec l'opération A2 = A * A.
Donner le sens de variation d'une fonction c'est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.
Étant donné deux valeurs x1 et x2 du domaine d'une fonction f, le taux de variation de cette fonction de x1 à x2 est le rapport : f(x2) – f(x1)x2 – x1.
Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants : si f ' est positive sur I la fonction est croissante sur I. si f ' est négative sur I la fonction est décroissante sur I.