Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences. Soit Ω un ensemble muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire X est une application définie sur Ω dans ℝ. X permet de transporter la loi P en la loi P' définie sur Ω′=X(Ω) : on a P′(xj)=P(X−1(xj))=P(X=xj).
Déterminer la loi de probabilité de X, c'est : lister l'ensemble des valeurs xi prises par X. associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l'évènement X=xi).
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d'une «expérience type» puis d'analyser cette expérience en détail pour pouvoir déduire les principales caractéristiques de toutes les expériences aléatoires qui sont du même type.
On note X = a l'ensemble des issues auxquelles on associe le nombre a. P(X = a) est la somme des probabilités des issues auxquelles on associe le nombre a. La loi de probabilité est l'ensemble des valeurs que peut prendre X auxquelles on associe leur probabilité.
On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements.
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares. La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance.
Discrète mais bien connue, la loi de Poisson est une loi de probabilité qui s'applique aux évènements rares. Parmi ses domaines de prédilection, les contrôles de qualité (y compris révision comptable, puisqu'on suppose que les erreurs sont rares), les probabilités de défaut de crédit, les accidents...
La formule de probabilités conditionnelles, P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) , peut également être utile. Si deux événements sont indépendants, P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) . Pour un système complet d'événements, , la formule des probabilités totales s'écrit : P ( A ) = ∑ i ∈ I P ( A ∩ B i ) .
On considère un événement comme étant impossible tout événement qui ne se réalisera jamais. De ce fait, sa probabilité est nulle. Toujours en prenant l'exemple du lancer d'un dé équilibré à 6 faces, l'événement A : "obtenir le nombre 8" est un événement impossible.
La date de naissance du calcul des probabilités est connue avec précision: durant l'été 1654, deux mathématiciens déjà célèbres, Blaise Pascal (à Paris) et Pierre de Fermat (à Toulouse), correspondent au sujet de problèmes posés par le chevalier de Méré.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire permet de connaitre les chances d'apparition des différentes valeurs de cette variable. On se place sur l'espace de probabilité (Ω, IP). FX : R → [0, 1] x ↦→ IP(X ≤ x).
Etant donnés deux évènements A et B de probabilités non nulles alors PA(B)=P(A∩B)P(A). Personnellement, je retiens cette formule en remarquant que les A sont "en bas" des deux côtés de l'égalité. Cette formule s'écrit aussi : P(A∩B)=P(A)×PA(B).
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.
D'autres types de loi existent : lois organique, constitutionnelle et référendaire.
Il existe sept lois universelles ou principes qui régissent toute personne et toute chose dans l'univers. Pour les nommer, ce sont les Lois du Mentalisme, Correspondance, Vibration, Polarité, du Rythme, Cause à Effet et du Genre. L'Univers existe dans une harmonie et un ordre parfaits en vertu de ces lois.
On appelle loi fondamentale l'ensemble des lois qui établissent le fondement de l'orgnisation d'un Etat et régissent les relations au sein des pouvoirs publics ainsi que les relations entre l'Etat et les citoyens. Elle est quelquefois qualifiée de "Mère des Lois", car toutes les autres lois s'inspirent d'elle.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi de Fisher-Snedecor de paramètres m≥1 m ≥ 1 et n≥1 n ≥ 1 si elle admet une densité qui vaut f(x)=Γ(m+n2)Γ(m2)Γ(n2)nn/2mm/2xm/2−1(mx+n)m+n2.
LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME COMPRISE ENTRE 1 ET 2
Si la valeur de la forme est comprise entre 1 et 2, la loi de Weibull forme rapidement un pic, puis décroît au fil du temps. Globalement, le taux de défaillance augmente, mais la hausse la plus rapide survient au début.
Loi discrète
La loi marginale pour X donne les probabilités que X = xi. Elle est donnée sur la dernière ligne. Par exemple, la probabilité que X = x1 est obtenue en sommant les probabilités d'avoir X = x1 et Y = y1, X = x1 et Y = y2, et X = x1 et Y = y3.
lorsque X suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules. Par exemple, si X suit la loi binomiale de paramètres n et p alors l'espérance de X est E(X)=n×p.