La fonction math. gcd() calcule le plus grand diviseur commun de 2 nombres mentionnés dans ses arguments.
Calcul du PPCM avec Python: cahier des charges
Il existe une relation mathématique intéressante:ppcm(a,b)×pgcd(a,b)=ab. Le calcul du PGCD étant simple (avec l'algorithme d'Euclide par exemple), il serait aisé de se servir d'une fonction retournant le PGCD pour en déduire le PPCM.
Le pgcd (plus grand commun diviseur) de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers, est égal au produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres, chacun d'eux n'est pris qu'une seule fois, avec son exposant le plus petit. 45 = 3×3×5 = 3²×5. Le pgcd = 3×5 = 15.
Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Le principe adopté est l'algorithme d'Euclide que l'on peut formellement décrire ainsi : La division entière se définit par A= (B * Q) + R avec A, B, Q, R entiers naturels.
utilise le pgcd quand on s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.
Par exemple, le PGCD de 252 et 105 est aussi égal au PGCD de 105 et 252 - 2 × 105 = 42. Ainsi, l'algorithme d'Euclide opère ainsi : on remplace le plus grand des deux nombres par le reste de la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252. 2) Nombres premiers entre eux : Ce sont des nombres qui ont un et un seul diviseur commun : 1.
- Le PGCD de a et de b est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affectés de leur plus petit exposant. - Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur plus grand exposant.
Réciproquement, si D un diviseur de a et b alors D divise r = a – bq et donc D est un diviseur de b et r. On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
Un tel entier existe bien, et il en existe un seul vérifiant ces trois propriétés qui est le PGCD au sens de la définition précédente quand (a,b) ≠ (0,0). Avec cette définition PGCD(0,0)=0.
Pour trouver un dénominateur commun, on peut simplement multiplier tous les dénominateurs ensemble. Par la suite, il s'agit de trouver les fractions équivalentes de chacune des fractions en utilisant le dénominateur commun obtenu.
Les multiples communs à deux nombres
Soient a, b et m trois entiers, a et b étant non nuls. Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b. On recherche des multiples communs à 4 et 14. Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
donc PPCM(10 ; 12) = 2 x 5 x 6 = 60 .
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
6 6 a des facteurs de 2 2 et 3 3 . Le plus petit multiple commun de 12,18,24 12 , 18 , 24 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans un nombre ou l'autre. Multipliez 2⋅2⋅2⋅3⋅3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 . Multipliez 2 2 par 2 2 .
Établissez des listes de plusieurs multiples de chacun des dénominateurs de votre équation en les multipliant par des nombres entiers, par exemple 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite. Exemple: 1/2 + 1/3 + 1/5. Multiples de 2 : 2 * 1 = 2 ; 2 * 2 = 4 ; 2 * 3 = 6 ; 2 * 4 = 8 ; 2 * 5 = 10 ; 2 * 6 = 12 ; 2 * 7 = 14 ; etc.
Euclide s'intéressait aussi à l'arithmétique. Il invente un algorithme célèbre qui porte le nom d'algorithme d'Euclide, permettant de calculer le PGCD (plus grand diviseur commun) de deux nombres.
Lemme d'Euclide — Soient b et c deux entiers. Si un nombre premier p divise le produit bc, alors p divise b ou c.
Etant donné deux entiers a et b, en Python les résultats de la division euclidienne peuvent s'obtenir de différentes façons : q = a // b retourne le quotient de la division euclidienne. r = a%b retourne le reste de la division euclidienne. q, r = divmod(a, b) retourne en même temps le quotient et le reste.
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24. Définition : Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
Le PPCM de 24,36 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers par le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans chaque nombre. Multiplier 2⋅2⋅2⋅3⋅3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 .
Exécution de la fonction: for x in range(100): a, b = isPrime(x) if a: print(b) 2 est un nombre premier! 3 est un nombre premier!