Soient f une fonction définie sur un ensemble Df et un nombre réel a étant une borne ou un élément de Df. Soit ℓ∈R. Dire que f a pour limite ℓ quand x tend vers a signifie que, quel que soit ε>0, il existe δ>0 tel que, pour tout x∈Df, si ∣x−a∣<δ, alors ∣f(x)−ℓ∣<ε.
Exemple : Calculer la limite de f(x)=2x f ( x ) = 2 x lorsque x tend vers 1 s'écrit limx→1f(x) lim x → 1 f ( x ) et revient à calculer 2×1=2 2 × 1 = 2 donc limx→1f(x)=2 lim x → 1 f ( x ) = 2 .
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c'est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc… En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
En analyse mathématique, la notion de limite décrit l'approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l'infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d'un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition.
Calculer l'image d'un réel par une fonctionMéthode
L'image d'un nombre x par une fonction f définie sur Df est le réel y tel que f(x)=y. Pour tout réel x, on a f(x)=x2−3x+1.
Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
On peut dire que la limite lorsque ? tend vers ? de ? de ? existe si les limites à gauche et à droite existent et que la limite à gauche est égale à la limite à droite. On peut aussi dire que la limite lorsque ? tend vers ? de ? de ? est égale à une constante ? où ? est aussi égale aux limites à gauche et droite.
n∈N est infinie, ce n'est pas dire que n! vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique. Dire qu'une suite (un) tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel A (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors un est plus grand que A à partir d'un certain rang.
Si f(x) = 4-2x, si x > 2 tu as f(x) < 0, donc la limite est 0-. Certainement pas, la réponse est ±∞. Le numérateur tend vers quelque chose de strictement positif, et le dénominateur tend vers 0+ ou 0-, donc la limite sera infinie (le signe est déterminé par la règle des signes).
Définition : Limite à l'infini
Si les valeurs de ? ( ? ) s'approchent d'une valeur finie ? lorsque la valeur de ? tend vers l'infini, alors on dit que la limite de ? ( ? ) lorsque ? se rapproche de l'infini positif existe et est égale à ? et on note l i m → ∞ ? ( ? ) = ? .
Si a ∈ D et si f poss`ede une limite `a gauche en a ou une limite `a droite en a distincte de f (a), alors f n'admet pas de limite en a. alors f tend vers f (a) en a. Si a /∈ D et si f poss`ede une limite `a droite et une limite `a gauche en a toutes deux égales `a l alors f tend vers l en a.
Les limites permettent aussi d'apprendre à tolérer la frustration et qu'il existe des interdits sociaux, des règles de collectivité, des règles de savoir-vivre… Plus votre enfant y sera confronté tôt, plus il sera à l'aise dans la socialisation.
En termes vulgarisés, quand x est très petit, 1/x est très grand, ce qui peut pousser à convenir que 1/0 vaudrait l'infini. Le problème est que quand x est très petit mais inférieur à 0, 1/x devient très important en dessous de zéro. On ne peut donc définir si 1/0 vaudrait plus l'infini ou moins l'infini.
Définition (limite infinie à l'infini)
On dit que f est définie au voisinage de +∞. Dire que f a pour limite +∞ quand x tend vers +∞ signifie que, quel que soit le réel A, il existe m>0 tel que, pour tout x∈Df, si x>m, alors f(x)>A.
Limite finie
Les termes de la suite s'accumulent autour d'une certaine valeur l de cet intervalle. Ce phénomène traduit la notion de limite finie. Limite finie : Dire qu'un réel l est limite d'une suite (un) signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.
Soit f:I→R f : I → R une fonction et a∈I a ∈ I . On dit que f est continue en a si f admet pour limite f(a) en a : ∀ε>0, ∃η>0, ∀x∈I, |x−a|<η⟹|f(x)−f(a)|<ε.
et pourtant f n'admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0). L'idée est tr`es simple : pour faire tendre x vers x0, on peut prendre une suite qui converge vers x0. Mais alors, la suite (un) converge vers x0 et la suite f(un) ne converge pas vers l.
4De l'avis de tous les historiens, c'est seulement à partir du début du XIXe siècle qu'exista une théorie des limites correctement élaborée ; elle fut le fait d'Augustin Louis Cauchy, né symboliquement en 1789 et elle est passée dans l'enseignement usuel jusqu'à nous.
À l'extrême d'un raisonnement, d'une manière de voir.
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse. Tout nombre réel est l'opposé de son opposé. Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a , on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.