La position du barycentre est donnée par la relation vectorielle α. GA + β. GB + γ. GC = 0.
Si a+b = 0, le barycentre des points pondérés (A,a)(B,b) est le point G tel que a −→ GA+b −→ GB = −→ 0 . Cette propriété est utilisée pour construire graphiquement le barycentre de deux points. Exemples : A et B sont deux points distants de 3 cm. G1 barycentre de (A,1)(B,2) ⇔ −−→ AG1 = 2 1+2 −→ AB = 2 3 −→ AB.
Définition du barycentre par une relation vectorielle
On dit alors que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients de pondération a et b ; on note G = bar{(A,a),(B,b)}. On remarque, d'après l'égalité vectorielle ci-dessus que G appartient à la droite (AB).
Il existe un unique point G , appelé \textbf{barycentre} du système de points pondérés (Ai,ai)i=1,…,n ( A i , a i ) i = 1 , … , n , tel que n∑i=1ai−−→GAi=⃗0. ∑ i = 1 n a i G A i → = 0 → . Pour tout point O de E , on a n∑i=1ai−−→OAi=(n∑i=1ai)−−→OG.
1) Les coefficients sont définis à un multiple près, c'est à dire que, pour tout réel k : G bar ( A ; ka ) ( B ; kb ) ( C ; kc ) = G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ). 2) Si a = b = c alors G est appelé isobarycentre des points A, B et C.
Le centre de gravité est donc le « centre géométrique », c'est-à-dire le barycentre en considérant que tous les points de l'objet ont la même pondération (isobarycentre).
Ainsi, G G est sur la droite (AA′) ( A A ′ ) . De même, G G est sur la droite (BB′) ( B B ′ ) et G G est sur la droite (CC′) ( C C ′ ) . Ainsi, les trois droites sont concourantes en G G . De plus, puisque G G est le barycentre de (A,1) ( A , 1 ) et (A′,2) ( A ′ , 2 ) , on a −−→AG=23−−→AA′ A G → = 2 3 A A ′ → .
Pour tracer la droite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points de la droite d'ajustement : - Si x = 0 alors y = 2,1×0+1,1=1,1 donc le point de coordonnées (0 ; 1,1) appartient à la droite d'ajustement.
Soient A et B deux points du plan P , α et β deux réels tels que α+β = 0 . Il existe un unique point G tel que : α −−→ GA +β −−→ GB = −→ 0 . Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, α) et (B , β) .
Cela signifie que les points (xi,yi) sont tous sur la droite d'équation y = λx + ¯y - λ¯x. Pour Quelques exemples. Différentes formes de nuages de points.
Soit un repère de l'espace. Soient A, B et C trois points de l'espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA), (xB, yB, zB) et (xC, yC, zC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que a+b+c ≠ 0. Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yA, zA) les coordonnées de G dans le repère .
Le moment MΔ( ) de la force exercée sur le solide (en N·m) correspond au produit de l'intensité F de la force (en N) par la longueur d du bras de levier (en m) : MΔ( ) = F × d.
Le moment cinétique en A d'un système est relié à celui en B par une relation torsorielle : −→LA(S/R)=−→LB(S/R)+−−→AB∧→PS/R(5) Dans le référentiel barycentrique R∗ , −→P∗=→0 P ∗ → = 0 → (cf. Postulats de la dynamique).
Un barycentre, du mot grec barus : poids et centre, est un point d'équilibre entre deux poids. Il s'agit d'un principe mis en évidence pour la première fois par le mathématicien et philosophe grec Archimède.
Comment démontrer qu'un point est le centre de gravité ? Si on peut tenir l'objet en équilibre sur un point, alors il s'agit du centre de gravité de l'objet.
Un peu d'histoire
Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l'on appelle aujourd'hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.
Le centre de gravité d'un triangle est au 2/3 en partant du sommet de chacune de ses médianes. Une démonstration qui utilise la géométrie analytique dans un repère (O ; x, y, z). Créé par Sal Khan.
Le barycentre d'un système de points pondérés n'est donc défini que si le poids total du système n'est pas nul. Le barycentre ne dépend pas de l'ordre des points. Homogénéité : le barycentre d'un système de points pondérés ne change pas lorsque l'on multiplie tous les poids par un même réel non nul.
Le centre de gravité d'un triangle rectangle se trouve au tiers des côtés de l'angle droit. Cette propriété facilite le calcul. Notons que le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle est, lui, le centre du cercle inscrit dans le triangle médian.
Propriété : L'équation a x + b y + c = 0 avec a ≠ 0 ou b ≠ 0 est l'équation d'une droite d et, réciproquement, toute droite d a une équation du type a x + b y + c = 0.
Trouver l'équation d'une droite à partir de deux points
Isoler le paramètre b afin de trouver la valeur de l'ordonnée à l'origine. Écrire l'équation de la droite sous la forme y=mx+b y = m x + b avec les valeurs des paramètres m et b.
Calcul de la régression linéaire
L'équation se présente sous la forme « Y = a + bX ». Vous pouvez également le reconnaître comme la formule de pente. Pour trouver l'équation linéaire à la main, vous devez obtenir la valeur de « a » et « b ».
le point G est appelé barycentre des points pondérés (A,α) et (B,β) . donc →GA=α+ββ→AB G A → = α + β β A B → . Cette relation assure que le point G existe et est unique.
Plusieurs droites sont dites concourantes si elles se coupent en un même point.
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un même point. Ce point, commun aux deux droites, est appelé point d'intersection des deux droites. Lorsque trois droites, ou plus, se coupent en un même point, on dit qu'elles sont concourantes.