Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.
La dérivée de 2x est égale à 2.
La fonction considérée est f ( x ) = x 2 . Si h ≠ 0 , on peut simplifier par et obtenir T a ( h ) = 2 a + h . Lorsque tend vers 0, T a ( h ) se rapproche d'un nombre réel qui est . Nous avons donc démontré que pour tout réel , est dérivable en et f ′ ( a ) = 2 a .
'(x) = u'(x) + v'(x) = 6x + 2 x . Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I. - Si f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
La dérivée d'une fonction contenant une racine carrée est toujours une fraction. Le numérateur de cette fraction est la dérivée du radicande.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique.
dérivée d'une fraction
La dérivée d'une "fraction" est: la dérivée du numérateur • le dénominateur – le numérateur • la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
Re : Dérivée = 0
Si une dérivée est nulle en tout point, c'est que la fonction est contante, c'est-à-dire que pour tout x, f(x)=k avec k un réel.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).
Méthode. Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB−xAyB−yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
Lorsque pour tous a et b de l'intervalle, les images de a et de b sont rangés dans l'ordre inverse de a et b, on dit que la fonction est décroissante sur l'intervalle considéré. On considère donc deux nombres a et b non nuls et de même signe et on calcule la différence entre les inverses.
La dérivée d'une fonction permet : De calculer le coefficient directeur et donc l'équation d'une tangente. De déterminer, avant de faire un graphique, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Les formules
La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées. La dérivée de la différence de deux fonctions est la différence de leurs dérivées. La dérivée du produit d'une fonction par un réel λ est égale au produit de la dérivée de la fonction par λ.
La notation f′ (qui se lit f prime ) pour désigner la dérivée de la fonction f est due au mathématicien français Lagrange (1736 - 1813). Cette notation est la plus usuelle et la plus simple si la fonction étudiée est une fonction d'une seule variable.
Soit h un nombre réel tel que a + h a+h a+h appartienne à I. On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Démonstration : La fonction f =1/u est la composée de deux fonctions la fonction u suivie de la fonction inverse. La fonction inverse est définie et dérivable sur chaque intervalle ]-∞ ;0[ et ]0 ;+∞[ , donc la fonction composée f est définie et dérivable sur les intervalles ou la fonction u est dérivable et non nulle.
> +ℎ? prend des valeurs de plus en plus grandes. Donc f n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.
Le coefficient directeur d'une droite (AB) non parallèle à l'axe des ordonnées est égal à xB−xAyB−yA.
Utilisation de la formule
On remplace h par zéro. On obtient 4 donc f'(2)=4.
On sait que f'(a) est égal au coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a. Or, la valeur de f'(0) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.