Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
Un intervalle fermé, comme {a}, [a, b], [a, +∞[, ] − ∞,b], ] − ∞, +∞[, est fermé. Exemples extrêmes : ∅ et R sont `a la fois ouverts et fermés.
Définition Une partie I de R est un intervalle ssi chaque fois qu'elle contient deux nombres, elle contient aussi tout l'intervalle entre ces deux nombres : ∀x,y,z ∈ R,x ∈ I et z ∈ I et x < y < z ⇒ y ∈ I.
Méthode Comment trouver le nombre d'intervalles sur une ligne fermée ? Sur des lignes fermées, le nombre d'intervalles (I) est égal au nombre d'objets (O). I = O.
Le réel a+b2 est le centre de l'intervalle, b−a2 est le rayon. Cette définition de l'intervalle ]a,b[, sera très souvent utilisée, en particulier, dans l'étude des suites et des fonctions.
Regarder sur quel(s) intervalle(s) la courbe est tracée, là où elle commence, là où elle s'arrête : en fait, cela consiste à regarder quels sont les x (en abscisss) qui possèdent une image.
Calculer la valeur d'un intervalle (division) en divisant la différence des 2 graduations par le nombre d'intervalles: soit 10/5 = 2mL.
Dans ℝ, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ℝ définis par des inégalités strictes. De plus, les ouverts de ℝ sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.
Résoudre dans ℝ une équation d'inconnue x, c'est trouver les solutions réelles, c'est-à-dire les valeurs des réels x qui rendent l'égalité correcte. Exemple: 3x² - 2x - 5 = 0 est une équation de degré 2. En remplaçant x par 1 dans 3 x² - 2x - 5, on obtient - 4.
Un sous-ensemble de ℝ est dit 'ouvert', si chaque fois qu'il contient un point x il contient un intervalle ouvert non vide contenant x. Cette définition entraîne immédiatement les propriétés suivantes: ∅ et ℝ sont ouverts.
intervalle
Distance plus ou moins grande entre deux choses, entre un point et un autre : Planter des arbres à intervalles réguliers. 2. Espace de temps entre deux instants : Pendant un court intervalle, personne ne parla. 3.
On désigne les intervalles par les noms de seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, selon qu'ils contiennent 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 degrés différents. On dit “degrés” dans l'échelle diatonique, pour exprimer les sept sons de la gamme telle qu'on la connaît (do, ré, mi, fa sol, la, si).
Un intervalle est ouvert lorsque les valeurs qui l'encadrent ne sont pas incluses dans l'intervalle. Il se présente avec les crochets vers l'extérieur.
a) les ouverts sont ∅, Q, et R (eh oui! cela définit une topologie sur R) ; alors Q est ouvert et non fermé.
Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)). Exemples [0, 23] est un compact dans R. {(x, y) /x2 + (y − 2)2 ≤ 6} est un compact de R2.
On note N∗ , l'ensemble des nombres entiers naturels dont on a enlevé la valeur 0 . N∗={1,2,3,4,5,...} N ∗ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . }
Remarque : La fonction f : ℝ* → ℝ définie par f(x) = x/|x| est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.
L'ensemble D
C'est l'ensemble des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est, non seulement, un nombre entier relatif, mais peut aussi être un nombre à virgule flottante, positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -4.2, -3, -2, -1.5, -1, 0, +0.7, +1, +2, +2.4, +3, +4, +5, +6, +6.75 +7, +8, etc.
Tierce majeure de D (ré) : F# (fa dièse) 3M.
Intervalles simples
Un intervalle est une différence de hauteur entre deux notes. On appelle intervalle simple tout intervalle inférieur ou égal à l'octave.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Dans Y , un singleton ne peut être ouvert. En effet, aucun intervalle (a − ε, a + ε) n'est contenu dans {a}.
L'intérieur d'un ensemble est la réunion de tous les ouverts inclus dans cet ensemble. L'intérieur de A sera noté oA. Tout point de oA sera dit intérieur à A. l'extérieur de A est par définition l'intérieur de E-A.