Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Le R², ou R-carré est appelé coefficient de détermination. C'est un indicateur utilisé en statistiques pour juger de la qualité d'une régression linéaire.
L'ensemble ℝ
Un nombre réel est non seulement un nombre rationnel, mais peut aussi être un nombre dont le développement décimal est infini, et non périodique. Exemples : …. -5/4, -4, -4.2, -3, -2, -1.524, -1/2, 0, +0.7, +1, +2, +2.41, +3, +4/5, +5, +6, +6.75, +7/2, +8…
¯R (lire "R-barre") désigne l'ensemble R∪{−∞,+∞}. Avec les conventions usuelles, l'introduction de cet ensemble ¯R permet de simplifier certains énoncés relatifs à l'ordre ou aux limites : par exemple, dans ¯R, toute partie non vide admet une borne supérieure, toute suite monotone admet une limite...
L'ensemble des solutions est l'ensemble des réels privé de 2, ce qui s'écrit S=R∖{2}. S = R ∖ { 2 } . Lorsque l'équation admet deux ou plusieurs solutions, on les présente en les séparant par des points-virgules. Exemple : soit l'équation x2=9.
Plus généralement si (G,+,≤) est un groupe totalement ordonné, on dit que G est archimédien lorsque pour tous éléments a et b de G vérifiant a>0 et b>0 il existe un entier naturel n tel que na>b n a > b . Tout sous-groupe de R est archimédien. Réciproquement, tout groupe archimédien est isomorphe à un sous-groupe de R.
Symboles mathématiques
∀x ∈ R+, ∃y ∈ R+, x = y2, ce qui signifie que pour tout réel positif x, il existe un réel positif y tel que x = y2.
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
On note R∗ l'ensemble des nombres réels dont on a enlevé le nombre 0 . On note R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On note R− l'ensemble des nombres réels négatifs.
Certains nombres comme π ou √2 ne peuvent s'exprimer comme des fractions, l'ensemble R contenant ces nombres n'a été inventé qu'à la fin du 19ième siècle par les mathématiciens Cantor et Dedekind.
On peut munir l'ensemble des nombres complexes d'une addition et d'une multiplication qui en font un corps commutatif contenant le corps des nombres réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895 d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition : où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs.
La fonction union(x,y) donne un vecteur composé des éléments qui se trouvent dans x ou dans y (union de x et de y). La fonction intersect(x,y) donne un vecteur composé des éléments qui se trouvent à la fois dans x et dans y (intersection de x et de y).
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
√2 et π sont des exemples de nombres qui ne peuvent pas s'exprimer sous la forme ab et dont le développement décimal est infini et non-périodique. Il ne font donc pas partie de l'ensemble des nombres rationnels. Ce sont des nombres irrationnels.
Le ® signifie « Registered », et donc que la marque est enregistrée. Il faut comprendre par là que la marque a été déposée. Elle a satisfait aux exigences de l'office de marque en cause. La procédure d'enregistrement est ensuite arrivée à son terme.
On peut aussi dire que ça résulte du simple fait qu'il sont rationnels). Pour démontrer que R est non dénombrable on part du fait que R est commensurable à un ensemble (les réels 'propres') dont la réunion avec un ensemble dénombrable (les réels impropres) donne un ensemble non dénombrable P(N).
Les nombre réels sont les abscisses des points d'une droite munie d'un repère : il s'agit donc de tous les nombres connus en seconde, qu'ils soient naturels, relatifs, rationnels ou irrationnels. L'ensemble des nombres réels se note IR. Exemples : V(2) ; 1,4 ; -3/8 ; 2 ; Pi ; ....
On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c'est-à-dire contient au moins un élément de X). Proposition 0.2. Soit X une partie de R. Pour que X soit dense dans R il faut et il suffit que tout point de R soit limite d'une suite d'éléments de X.
Le fait que Q soit dense dans R implique que tout réel, même irrationnel, peut être approché par un rationnel. Vous avez découvert les intervalles en classe de seconde. Ajoutons-y un peu de rigueur et de vocabulaire… Un intervalle ouvert est un intervalle dont les bornes sont exclues.
Soit I une partie de R . On dit que I est un intervalle si, pour tous x<y appartenant à I, pour tout z∈R z ∈ R avec x<z<y, x < z < y , alors z est élément de I. I . Autrement dit, les intervalles de R sont les parties convexes de R.