Calculer le PGCD de ces nombres
P G C D ( 60 , 90 ) = 30 .
Donc le PGCD (60 ; 84) = 12.
Méthode : Algorithme des différences
On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul.
Calculer le PGCD de 36 et 60 à l'aide de l'algorithme des différences. Donc le PGCD de 60 et 36 est un diviseur de 24.
Exemples. Le PGCD de 15 et 25 est 5. Le PGCD de 80 et 120 est 40. Le PGCD de 25 et 100 est 25.
Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs de 30 et 18 étant 1, 2, 3 et 6, leur PGCD est 6. Ce qui se note : PGCD(30, 18) = 6. Les diviseurs communs à plusieurs entiers sont les diviseurs de leur PGCD.
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24. Définition : Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
PGCD : le plus grand commun diviseur
Par exemple : 120 = 23 x 3 x 5 et 3920 = 24 x 5 x 72 Ces décompositions ont en commun : 23 et 5 Donc le PGCD de 120 et 3920 est 23 x 5, soit 40. Que l'on peut noter : PGCD(120;3920) = 40.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 et leurs opposés.
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6. Le PGCD (12 ; 18) est 6. Méthode 2 : Algorithme des soustractions. Propriété du PGCD : On prend deux nombres entiers strictement positifs a et b.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
20 a pour diviseurs 1,2,4,5,10,20. 25 a pour diviseurs 1,5,25. Le plus grand commun diviseur est 5.
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24. Ces nombres ont aussi d'autres diviseurs communs, soit 2 et 4, mais il ne s'agit pas de leur plus grand diviseur commun.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
Donc PGCD(144 ; 252) = 36.
15=1×12+3 donc le reste est 3. 12=3×4+0 donc le reste est 0. On s'arrète dès qu'on trouve un reste nul. Donc le PGCD est le dernier reste non nul.
– Prenons un exemple avec 108 et 60.
Les diviseurs communs de 60 et de 108 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ainsi, on a PGCD(108;60) = 12.
Pour une introduction, voir Plus grand commun diviseur de nombres entiers. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.
540=300×1+240 300=240×1+60 240=60×4+0 donc PGCD(540;300)=60.
Les facteurs communs pour 27,36 sont 1,3,9 1 , 3 , 9 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,3,9 1 , 3 , 9 est 9 .
Indiquez tous les facteurs pour 72,90 pour déterminer les facteurs communs. Les facteurs communs pour 72,90 sont 1,2,3,6,9,18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,6,9,18 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 est 18 .
Indiquez tous les facteurs pour 72,120 pour déterminer les facteurs communs. Les facteurs communs pour 72,120 sont 1,2,3,4,6,8,12,24 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,4,6,8,12,24 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 est 24 .
Reprenons 30 et 48 : 30=2×3×5. 48=2×2×2×2×3. On remarque que le produit 2×3=6 est commun aux deux et est le plus grand produit commun, il est donc le PGCD.