Ce nombre doit être maximal donc c'est PGCD(135;108) 27 = Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets. b) Combien de billes compteront les paquets ?
Le plus grand diviseur commun de 162 et 108 est : 2 × 3 × 3 × 3 = 54.
En effet : 132 = 1 x 132 = 2 x 66 = 3 x 44 = 4 x 33 = 6x 22 = 11 x 12. Les diviseurs communs (présents dans les deux listes) sont : 1 ; 2; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Le plus grand diviseur commun est donc : 12. Remarque : les diviseurs communs sont les diviseurs du pgcd.
Diviseurs de 108 : {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108}. Diviseurs communs de 72 et 108 : {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.
Un tel entier existe bien, et il en existe un seul vérifiant ces trois propriétés qui est le PGCD au sens de la définition précédente quand (a,b) ≠ (0,0). Avec cette définition PGCD(0,0)=0.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36. 1er cours offert !
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
Concernant 108, la réponse est : Non, 108 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 108) est la suivante : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108.
Calcul du PGCD de 144 et 252 à l'aide de l'algorithme d'Euclide : 252 = 144 1 + 108 d'où PGCD(252 ; 144) = PGCD(144 ; 108) 144 = 108 1 + 36 d'où PGCD(144 ; 108) = PGCD(108 ; 36) 108 = 36 3 + 0 d'où PGCD(108 ; 36) = 36. Donc PGCD(144 ; 252) = 36.
Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
Méthode d'Euclide
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide. Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ≠ 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Réponse. Et le diviseur commun de 80 et 100 est 10 car un entier est divisible par 10 si le chiffre de ses unités est 0 donc le diviseur commun est bien 10.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
On en déduit que l'ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l'ensemble des diviseurs communs de b et r. Et donc en particulier, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
utilise le pgcd quand on s'occupe des diviseurs communs à ces nombres et qu'on est amené à chercher le plus grand de ces diviseurs. Le PGCD de différents nombres est un diviseur de chacun des nombres et est donc toujours inférieur ou égal à chacun des nombres.
Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90 (idem). Qu'est-ce que c'est ? Soient a et b deux entiers positifs. Le PGCD de a et b, noté pgcd(a; b), est le plus grand diviseur commun à a et à b (il divise a et b à la fois.)