; ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse permettant d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation.
Lorsque la dérivée seconde de la fonction change de signe, la fonction ? a un point d'inflexion et sa courbe, jusqu'alors sous ses tangentes, passe au-dessus de ses tangentes. Ainsi, on peut utiliser les courbes d'équations ? = ? ′ ( ? ) et ? = ? ′ ′ ( ? ) pour déduire des informations sur la fonction ? .
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
La dérivée est fondamentale car on la retrouve presque tout le temps avec les fonctions !! Comme on l'a vu, elle permet de connaître l'équation de la tangente, de pouvoir calculer quelques limites de formes indéterminées, et surtout de connaître le sens de variation d'une fonction !!
– si f est dérivable en x0, et si λ est un réel, alors λf est dérivable en x0, de dérivée λf (x0). – une fonction constante est partout dérivable, de dérivée nulle. – une fonction affine f : x ↦→ ax + b est partout dérivable, et f (x0) = a pour tout x0.
Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport entre les variations infinitésimales de la fonction et les variations infinitésimales de son argument. Par exemple, la vitesse. est la dérivée. du déplacement.
Re : Dérivée = 0
Si une dérivée est nulle en tout point, c'est que la fonction est contante, c'est-à-dire que pour tout x, f(x)=k avec k un réel.
Naissance de la notion de dérivée : Sir Issac Newton et Gottfried Wilheim Leibniz (fin du XVIIè s.)
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ℝ par f '(x) = 2ax +b.
La notation f′ (qui se lit f prime ) pour désigner la dérivée de la fonction f est due au mathématicien français Lagrange (1736 - 1813). Cette notation est la plus usuelle et la plus simple si la fonction étudiée est une fonction d'une seule variable.
Re : Dérivée par rapport au temps
La dérivée d'une fonction f(x) par rapport à x telle que f(x) = ax est f' = a = cste. Ici on a p(t) = 0.2t donc p'(x) = 0.2 = cste.
La dérivée de 2x est égale à 2.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.
Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB−xAyB−yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
égal à : f (a + h) − f (a) a + h − a = f (a + h) − f (a) h . tend vers 0. Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) .
La dérivée d'une fonction contenant une racine carrée est toujours une fraction. Le numérateur de cette fraction est la dérivée du radicande.
On s'explique : Si f(x) = x²+1, alors on note sa dérivée f ' (x) = 2x +0, soit 2x. Prenons l'exemple de f(x) = 10x²+5x +2 : on obtient f ' (x) = 10*2x2-1+5, soit f ' (x) = 20x +5 : la dérivée d'une constante est nulle. On calcule chaque dérivée avec puissances de cette manière, donc si f(x) = x3, alors f ' (x) = 3x².
On place les valeurs pour lesquelles f change de sens de variation dans la première ligne du tableau de variations. On trace une flèche qui monte dans la deuxième ligne du tableau lorsque f est croissante et une flèche qui descend lorsque f est décroissante.
Re : Différentielle et dérivée
Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) .
Une notation possible pour sa dérivée est df dx (on parle de «notation différentielle»). f(x + h) − f(x) (x + h) − x . On a au dénominateur une «petite» variation de x (celui-ci varie de h, qui tend vers 0), et au numérateur, la variation de f lorsque x subit cette variation.