Remarque : Dire que la fonction carré est définie sur ℝ signifie que peut prendre n'importe quelle valeur de ℝ. La courbe d'équation = de la fonction carré est appelée une parabole. Propriété : La courbe d'équation = de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction est définie sur R , donc Df=R D f = R . Donc, pour tout x∈Df x ∈ D f , on a −x∈Df − x ∈ D f .
Une fonction peut être définie point par point par une expression explicite faisant intervenir d'autres fonctions de référence, des limites ou d'autres procédés algorithmiques. Il peut s'agir par exemple de la réciproque d'une autre fonction.
Pour montrer qu'une application est bien définie, il faut s'assurer que pour chaque antécédent x on définit bien une image unique y dans l'ensemble d'arrivée (d'où l'importance de l'ensemble d'arrivée).
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d'après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(R) . signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Par définition, la fonction exponentielle est égale à sa dérivée. Si f est une fonction de la forme f(x)=eu(x) alors f′(x)=u′(x)×eu(x). La dérivée de f définie par f(x)=ex2+1 est f′(x)=2xex2+1.
Par conséquent, l'ensemble de définition de 𝑓 est l'ensemble des nombres réels, ℝ . Pour trouver l'ensemble de définition de la dérivée, nous devons considérer les points 𝑥 auxquels 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 3 √ 𝑥 n'est pas définie. Le seul point où elle n'est pas définie est lorsque le dénominateur est égal à zéro.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Une suite numérique est une suite géométrique de raison s'il existe un nombre réel tel que u n + 1 = q u n . Le terme général d'une suite géométrique de raison est u n = u 0 q n . Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient u n + 1 u n est constant pour tout nombre entier .
Pour évaluer 𝑓 [ 𝑓 ( 𝑥 ) ] on utilise une fonction composée, qui peut aussi s'écrire ( 𝑓 ∘ 𝑓 ) ( 𝑥 ) . Pour évaluer 𝑓 [ 𝑓 ( 𝑥 ) ] en une valeur spécifique de 𝑥 , on évalue d'abord 𝑓 ( 𝑥 ) en cette valeur de 𝑥 . Puis on évalue 𝑓 ( 𝑥 ) encore une fois, cette fois en utilisant l'image obtenue précédemment comme argument.
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
Un nombre réel désigne un nombre dont la représentation décimale contient un nombre fini ou infini de chiffres après la virgule. Garde en tête qu'il ne s'agit pas forcément d'un nombre décimal, qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs.
domf={x∈R|f(x)∈R}. Restrictions pour déterminer le domaine d'une fonction algébrique : Si la formule contient un dénominateur, celui-ci ne doit pas être nul. Ainsi, si f est une fraction algébrique P(x)Q(x), alors domf={x∈R|Q(x)≠0}.
R*+ --> R est la définition d'une application qui prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels positifs non nul(l'étoile) et dont l'ensemble d'arrivée c'est-à-dire le résultat de l'application ou la fonction est un réel (appartient à R).
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B. Pour cela, on peut : lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur . Ainsi, f '(0) = –1,5.
La définition d'une suite. Définir une suite, c'est donner une formule permettant de calculer tous ses termes. Une suite peut être définie de manière explicite (la valeur de chaque terme est directement donnée) ou par récurrence (la valeur d'un terme est donnée en fonction du terme précédent).
La différence entre un terme et le terme précédent est toujours . Une suite géométrique est une suite numérique où le quotient entre termes successifs est toujours le même. Nous pouvons définir une suite arithmétique par récurrence, c'est-à-dire, nous obtenons la valeur d'un terme en utilisant le terme précédent.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1. Donc la fonction f est continue en 0.
Si f admet une limite finie en x0, notée l, on dit que f est prolongeable par continuité en x0 par la fonction: f : Df ∪ {x0} → R x ↦→ ∣ ∣ ∣ ∣ f(x) si x = x0 , l si x = x0 . La fonction f s'appelle le prolongement par continuité de f.
Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).
La fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction telle que sa dérivée est elle-même et qui prend la valeur 1 lorsque x vaut 0.
La fonction exponentielle ne s'annule pas sur R. Autrement dit, pour tout réel x, exp(x) ≠ 0. est la fonction nulle, donc ϕ est une fonction constante sur R. Supposons alors qu'il existe un réel x0 tel que exp(x0) = 0.
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes : Propriétés opératoires : ∀a,b∈R, ∀n∈Z, exp(a+b)=exp(a)exp(b), exp(a−b)=exp(a)exp(b) ∀ a , b ∈ R , ∀ n ∈ Z , exp ( a + b ) = exp ( a − b ) = exp exp(na)=(expa)n.