L'ensemble (ℤ, +, ×) n'est pas un corps car la plupart des éléments non nuls de ℤ ne sont pas inversibles : par exemple, il n'existe pas d'entier relatif n tel que 2n = 1 donc 2 n'est pas inversible.
Tout anneau intègre fini est un corps commutatif. La démonstration repose sur une observation : la multiplication A → A par un élément fixé non nul a, qui est toujours injective dans un anneau intègre A, est nécessairement aussi surjective quand l'anneau est fini, ce qui montre l'existence d'un inverse de a.
Un corps est donc un ensemble dans lequel on peut effectuer des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions. Dans certains livres, on ajoute dans la définition d'un corps que le groupe (K∖{0},×) ( K ∖ { 0 } , × ) est commutatif. Un corps non commutatif est alors appelé anneau à division.
Z est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul. l'exemple précédent montre que M2(R) M 2 ( R ) n'est pas un anneau intègre.
L'ensemble N des entiers naturels n'est pas un anneau, car ce n'est pas un groupe quand on le munit de l'addition : l'existence des opposés fait défaut. C'est un semi-anneau. L'ensemble 2ℤ des entiers (relatifs) pairs n'est pas un anneau, car sa multiplication n'a pas d'élément neutre. C'est un pseudo-anneau.
Un anneau A = {0} est un corps si et seulement si il ne contient aucun idéal que les idéaux triviaux. Démonstration. Si A est un corps, tout idéal non nul contient un inversible, donc coïncide avec A. Réciproquement, soit a un élément non nul de A.
On qualifie de sous-corps d'un corps (K, +,∗) un sous-anneau A de K tel que l'inverse de tout x non nul de A soit élément de A.
Articles détaillés : Corps commutatif et Corps fini. ℤ/nℤ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
Intègre est un terme employé pour qualifier quelqu'un d'entier, honnête, qui est incorruptible et qui est sans failles.
On note Z/nZ l'ensemble des classes d'équivalence : La classe d'équivalence d'un entier x est le sous-ensemble de Z formé des entiers de la forme kn+x avec k ∈ Z. Dans la suite, on représentera la classe d'équivalence de x par le reste r ∈ {0,...n − 1} de la division euclidienne de x par n.
En mathématiques, un corps est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possible l'addition, la multiplication et le calcul d'opposés et d'inverses, permettant de définir les opérateurs de soustraction et de division.
On écrit sans trait d'union : à corps perdu, à son corps défendant, corps et biens ; combattre corps à corps. On écrit un corps de bâtiment, un corps de métier, un corps d'armée (compléments au singulier) mais un corps de troupes (avec troupe au pluriel).
En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.
Les idéaux maximaux de Z/nZ sont les pZ/nZ, avec p|n premier. Exemple. Les idéaux de Z/8Z sont {0},2Z/8Z,4Z/8Z,Z/8Z et son seul idéal maximal est 2Z/8Z. automorphisme est réalisé par σ : x → (σ(x) :→ xy).
On suppose que Z[τ] est principal. Soit q un élément irréductible de Z[τ]. Alors deux cas sont possibles : • il existe un nombre premier p ∈ N tel que v(q) = p; • il existe un nombre premier p ∈ N tel que q soit associé `a p (et l'on a v(q) = p2). Décomposons v(q) = qq en facteurs premiers dans Z.
Une partie I de A est un idéal si (I,+) est un groupe et si, pour tout a∈A a ∈ A et tout u∈I u ∈ I , alors au∈I a u ∈ I (propriété d'absorbtion).
probité Qualité de quelqu'un qui observe parfaitement les règles morales, qui respecte scrupuleusement ses devoirs, les règlements, etc.
agréger, assimiler, comprendre, faire entrer, fondre, inclure, incorporer, insérer. Contraire : éliminer, exclure, radier.
A. − [En parlant d'une qualité morale exercée vis-à-vis d'autrui] Droiture qui porte à respecter le bien d'autrui, à observer les droits et les devoirs de la justice. Synon. droiture, honnêteté, incorruptibilité, intégrité.
Cela s'appelle l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence congruence. Ici, E=Z, R c'est 2Z.
Construction de l'ensemble Z
des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.
Les généralités sur les groupes, sous-groupes, etc. En particulier le fait que, si on a deux sous-groupes H, K d'un groupe abélien G, H ∩K et H +K sont des sous-groupes. On note nZ ou (n) l'ensemble des multiples de l'entier n (i.e. l'ensemble des nx, pour x ∈ Z). Il est clair que c'est un sous-groupe additif de Z.
En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs.
Définition 1.1.1. Un anneau (resp. anneau commutatif) est un groupe abélien (A,+) muni d'une seconde opération m : A×A → A, notée multipli- cativement (i.e. le plus souvent sans symbole : m(a, b) = ab ou avec un point si besoin), qui est associative (resp.
Définition : Soit f une application de G dans G′ ; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous x et y de G , on a : f(x×y)=f(x)×f(y).