Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et −1). Ceci est une contradiction (étape n°2). Ainsi, √2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
— La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).
Nombre rationnel :
2 , 5 4 \frac{2,5}{4} 42,5, 1 2 , 7 \frac{1}{2,7} 2,71 et 5 , 89 7 , 8 \frac{5,89}{7,8} 7,85,89 ne sont pas des fractions mais des écritures fractionnaires, mais elles peuvent respectivement s'écrire 4025, 2710 et 780589.
Contrairement à d'autres nombres comme 0 ou 2,49, √2 ne peut pas s'écrire comme une fraction (on dit qu'il est irrationnel) : il a un nombre infini de chiffres après la virgule. Une valeur approchée (à seulement 12 chiffres après la virgule) en est 1,414213562373.
Nombre irrationnel : qu'est-ce que c'est ? Nombre qui ne s'exprime pas comme le quotient de deux nombres entiers. Ainsi, 2012, 3/2, -1/3, 1/100 sont rationnels alors que la racine carré de 2 ou Pi sont irrationnels.
Comme 3 est premier, 3 diviserait p d'o`u l'existence de p ∈ N tel que p = 3p . En reportant dans l'égalité (⋆), on aurait 3p 2 = q2 donc 3 diviserait q, ce qui contredit (p, q) premiers ente eux. La contradiction assure que √ 3 est irrationnel.
Preuve de l'irrationalité Supposons que √5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (c'est-à-dire que m et n sont premiers entre eux : PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse √5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m d'après le lemme d'Euclide.
La racine carrée d'un nombre réel positif est l'unique nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié avec lui-même, redonne le nombre réel de départ. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3 parce que 3 × 3 = 9. On note formellement : √9 = 3. Le symbole √ dérive de la lettre r.
Le nombre pi est un nombre transcendant, c'est pourquoi la quadrature du cercle, telle qu'on l'entendait lorsque le problème a été posé, est une entreprise chimérique. Il est impossible de tracer avec la règle et le compas, en partant du rayon d'un cercle, un rectangle d'aire égale à celle du cercle.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
1. Ce qui est en dehors du domaine de la raison ou qui s'y oppose. 2. Élément de l'ensemble ℝ des réels qui n'appartient pas à l'ensemble ℚ des rationnels.
Ensemble des nombres rationnels
Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers. L'ensemble des nombres rationnels se note Q. Inversement, un nombre est irrationnel lorsqu'il n'est pas rationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Adjectif. Qui n'est pas conforme à la raison. (Mathématiques) Se dit des quantités qui n'ont aucune commune mesure avec l'unité, c'est-à-dire qui ne peuvent être représentées ni par des nombres entiers, ni par des fractions (les nombres rationnels). Nombre irrationnel.
Re : Irrationnalité de racine carrée de 10
Donc 10 divise p^2. Or 10 = 2 x 5, donc 2 divise p^2 et 5 divise p^2. D'après le Lemme de Gauss : - comme 2 divise p^2 alors 2 divise p.
La racine carrée de trois, notée √3 ou 31/2, est en mathématiques le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement. Il vaut approximativement 1,732.
On s'intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l'est aussi). Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
Bref, l'ensemble des nombres irrationnels regroupent tous les nombres qui ne peuvent pas s'exprimer comme un quotient d'entiers. Le développement décimal de ces nombres est infini et non périodique. π ≈3,141592654... √2 ≈1,414213562...
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels. Le nombre entier "3" est un nombre rationnel. Le nombre entier "18" est un nombre rationnel.
Ici, le nombre donné √4 est égal à 2 ; le nombre 2 est un nombre entier et les nombres entiers sont toujours rationnels. En outre, il peut être exprimé sous forme de fraction comme 2 ⁄ 1, ce qui signifie qu'il s'agit d'un nombre rationnel. Par conséquent, √4 n'est pas un nombre irrationnel .
Puisque chaque nombre entier peut être écrit sous forme de fraction, chaque nombre entier est un nombre rationnel. Un ensemble de nombres qui comprend tous les nombres entiers positifs et 0 est appelé un nombre entier.
Propriété Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Le quotient de 2 racines carrées ets égale a la racine carrée du quotient.