Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)).
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Une partie 'compacte' est une partie de ℝ à la fois fermée et bornée. Exemples: Un intervalle fermé borné du type [a,b] est un compact. ℚ n'est pas compact, car non borné.
En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme.
Il faut prouver qu'une suite de Cauchy converge. Soit a_n une suite de Cauchy dans R. On voit facilement qu'elle est bornée. Donc il existe une suite extraite a_f(p) convergente (vers un c élt R).
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.
Définition : On dit qu'une partie A d'un espace métrique est compacte si toute suite de A possède une suite extraite convergente dans A . Toute fonction continue sur K est uniformément continue (c'est le théorème de Heine). Si f:K→R f : K → R est une fonction continue, alors elle est bornée et atteint ses bornes.
Définition. Une partie A d'un espace métrique (E,d) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-suite convergente (dans (E,d)) vers un élément de A. Si A = E tout entier, on dit que l'espace métrique (E,d) est compact.
L'ensemble Rn est défini comme l'ensemble des n-tuplets ordonnés (x1,...,xn) de nombres réels. Ces n-tuplets sont appelés points de Rn. En même temps on peut interpréter l'ensemble Rn comme espace vectoriel de dimension n.
On appelle espace topologique un couple (X,T ) où X est un ensemble et T une famille de parties de X vérifiant : (T1) ∅∈T , X ∈ T , (T2) Une intersection finie d'éléments de T appartient à T , (T3) Une reunion quelconque d'éléments de T appartient à T .
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
L'espace ℝ des nombres réels et l'espace ℂ des nombres complexes, munis de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|, sont complets. Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sur ℝ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets.
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante, ou contraction, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.
Vous pouvez aussi demander quelles sont les 5 relations topologiques ? Les relations topologiques exploitées dans ce contexte sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection.
La topologie est utilisée principalement pour garantir la qualité des données des relations spatiales et faciliter leur compilation.
La topologie permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites. Regardons la suite des inverses des nombres entiers à partir de 1 : 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … , 1/n, … À la limite, cette suite va tendre vers 0. Cela rejoint plus ou moins le fait que 0 est un point limite de l'ensemble des 1/n.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ».
Définition 1 Une application N : E −→ R est une norme ssi 1. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) 2. ∀x, y ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) 3. ∀x ∈ E, N(x) ≥ 0 (positivité) 4.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.