Lorsque la concentration en ions H+ d'une solution est exprimée en notation scientifique dont le premier facteur est 1, on peut déterminer le pH de cette solution en repérant l'exposant. Cette astuce exprime le fait que le pH est une fonction logarithmique.
Le pH est une échelle logarithmique en base 10, c'est-à-dire que chaque unité de pH correspond à une variation de concentration égale à 10 fois. Voici un exemple pour bien comprendre ce que signifie ce fait: une solution acide dont le pH est de 4 est 10 fois plus acide qu'une autre solution à pH de 5.
Le logarithme est très couramment utilisé en Physique-Chimie, car il permet de manipuler et de considérer des nombres possédant des ordres de grandeur très différents, notamment grâce à l'emploi d'échelles logarithmiques.
Les échelles logarithmiques sont utiles lorsque les données que vous affichez sont nettement inférieures ou supérieures au reste des données ou lorsque les différences de pourcentage entre des valeurs sont trop importantes.
Exemple d'un calcul d'un logarithme
On se pose la question : 100 est 10 puissance combien ? En d'autres termes, on doit résoudre l'équation suivante : 10 x = 100. Le résultat de l'équation est x = 2, car 10 2 = 100. Par conséquent, le résultat de log 10(100) = 2.
Une échelle logarithmique affiche des données numériques sur une très large gamme de nombres, en les rendant plus compacts. L'échelle logarithmique est non linéaire, ce qui signifie que lorsque vous vous déplacez le long de l'échelle, le nombre a été multiplié par un facteur fixe – souvent par 10 ou 100.
Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ et (lnx)' = 1 x . lnx − lna x − a = 1 a . 2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ . Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)' = 1 x > 0.
Si l'échelle décimale de Monoyer est très précise pour mesurer les acuités élevées, elle manque de sensibilité pour les basses acuités. Une échelle logarithmique est préférable pour décrire la fonction visuelle et facilite les statistiques.
Plus concrètement, Lorsqu'une série numérique comporte de grands nombres strictement positifs à étudier, on a recours au logarithme pour une importante réduction d'échelle et donc une bonne lecture du phénomène étudié (les tendances d'évolution sont conservées).
Modèle Log-niveau
Ainsi, on peut interpréter 100 × β1 comme le changement en pourcentage du salaire lorsque le niveau d'études augmente d'une unité, toutes choses égales par ailleurs : lorsque le niveau d'études augmente d'une unité, le salaire augmente donc de 100 × β1 à âge et sexe fixés.
On utilise la notation ln lorsque la base est le nombre e, comme l n = l o g e . La notation log est utilisée pour les autres bases. Par convention, si la base est 10, il n'est pas nécessaire de l'inscrire.
L'antilogarithme est la fonction inverse du logarithme définit de telle sorte que n est l'antilogarithme de a si log n = а.
Les deux principales méthodes pour mesurer le pH d'une solution sont : pour une précision à 1 unité de pH près : les indicateurs colorés dont la couleur change dans une zone de virage de 2 unités pH, le papier pH, mélange d'indicateurs colorés, à l'aide de son échelle de teinte.
Une équation de réaction chimique décrit les transformations chimiques qui ont lieu, en indiquant le nombre et la formule des réactifs et des produits. Elle respecte la loi de Lavoisier : les atomes constituants les réactifs se retrouvent en même nombre dans les produits. Le pH caractérise l'acidité d'une solution.
. Puisque la fonction log est croissante, pour tout réel a compris entre 1 et 10 (exclu), log(a) est compris entre 0 et 1. L'entier relatif n est donc la partie entière de log(x) et log(a) la partie décimale à ajouter à n pour obtenir log(x). La partie entière de log(x) est appelée caractéristique du log.
Transformation logarithmique
Cette transformation a un impact marqué sur la distribution d'une variable. Elle permet en général de rapprocher des valeurs extrêmes pour obtenir des graphes de distribution moins étendus.
Le logarithme d'une puissance : b ( M p ) = p log logb(Mp)=plogb(M) Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base. Voir un exemple numérique.
Il s'agit d'un fichier comprenant différentes informations liées à l'utilisation d'un serveur, d'une application, d'un logiciel ou d'un système informatique. Un fichier log peut contenir certaines données confidentielles sur l'utilisateur comme l'adresse IP, la liste des processus et la configuration des systèmes.
L'INVENTION
En 1620, Edmund Gunter (1581-1626), professeur d'astronomie dans le même établissement, a l'idée, à la fois simple et géniale, de faire fabriquer une règle munie d'une « ligne des logarithmes », qu'il appelle line of numbers, graduée proportionnel- lement aux logarithmes des nombres.
Comme b > 1, la fonction logb est croissante et quand x tend vers +∞, logb(x) tend vers +∞, tandis que lorsque x approche zéro, logb(x) tend vers –∞. Dans le cas où le réel b est strictement compris entre 0 et 1, la fonction logb est décroissante et ces limites sont interverties.
Le mathématicien écossais John Napier (1550 ; 1617), plus connu sous le nom francisé de Neper, est le célèbre inventeur des logarithmes, qu'il décrivit en 1614 dans son ouvrage « Description de la merveilleuse règle des logarithmes » .