S'interroger sur les paramètres qui influent sur la dérivée d'une grandeur physique, c'est chercher à établir une équation différentielle. La résoudre permet d'anticiper l'évolution d'un système. La mise en place d'une méthode numérique itérative permet de mieux ancrer l'idée du déterminisme et de la causalité.
Une équation différentielle est une relation entre une fonction et ses dérivées successives. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation de la fonction inconnue : Ainsi, une équation différentielle d'ordre 1 est une relation où interviennent une fonction et sa dérivée première.
Les équations différentielles servent dans quasiment tous les domaines de la physique : en électromagnétisme, en mécanique des fluides, ... Mais elles prennent des formes plus complexes (plusieurs variables) et sont appellées "équations aux dérivées partielles".
Ces équations différentielles sont utiles, car elles interviennent dans la modélisation de phénomènes très vastes allant de la dynamique des populations à la prédiction de la fonte des banquises. Elles sont impliquées dans beaucoup de phénomènes qui nous entourent comme la météo ou l'effet papillon.
Ces lois mécaniques permettent de modéliser le mouvement d'un corps. Ces lois, appelés lois de Newtons sont au nombre de trois. Elles s'écrivent sous une forme différentielle. C'est-à-dire sous la forme d'une équation différentielle dont la résolution permet de caractériser le mouvement d'un corps.
Définition : Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. Ex : y^'+ay=0 avec a réel est une équation différentielle. f est une solution de l'équation différentielle.
Le terme œquatio differentialis ou équation différentielle est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz1 en 1676 pour définir la relation entre les différentielles dx et dy des deux variables x et y.
Équation différentielle y' = f
Une fonction F est une primitive de f sur I, lorsque pour tout réel x ∈ I, F′(x) = f(x). Une primitive de f sur I est solution de l'équation différentielle y′ = f. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Une équation différentielle particulièrement simple est l'équation y ′ = a y , où est une constante réelle. Elle modélise des situations très diverses, où la vitesse de variation d'une quantité est proportionnellle à cette quantité même : La taille d'une population ayant un taux d'accroissement constant.
Si l'on prend une réaction A --> B pour faire très simple (pas d'autres réactifs !), que l'on suppose d'ordre a. On a dans ce cas : vitesse = - d[A]/dt = k*[A]^a, k cste de vitesse de la réaction et [A] concentration en A à l'instant t.
Le principe est simple : l'accroissement de la population n'est proportionnel `a la population que pour les petites va- leurs de celle-ci. Lorsqu'elle croıt, des facteurs limitants apparaissent1 (place ou quantité de nourriture disponible, etc.) qui font qu'il y a une population maximale m.
La loi phénoménologique de Newton est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant. Les coefficients A et B sont déterminés à partir de la condition initiale et de la condition finale associées à la température T(t).
Dans le cas d'un circuit RLC, l'équation différentielle obtenue est linéaire d'ordre 2, et la tension suit alors une évolution pouvant être caractérisée grâce à des fonctions trigonométriques.
Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .
Une équation différentielle linéaire (du premier ordre) est une équation différentielle de la forme y′(x)=a(x)y(x)+b(x) y ′ ( x ) = a ( x ) y ( x ) + b ( x ) , où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R . Si a et b sont deux fonctions constantes, l'équation est dite à coefficients constants.
Une équation différentielle, que nous abrégerons parfois équa diff ou ED, est une égalité où il y a une fonction avec ses dérivées. Par exemple : On voit qu'il y a une fonction f, avec sa dérivée première f ', et sa dérivée seconde f ". On note y mais c'est sous-entendu y(x), y est une fonction, pas une variable.
Lorsque la variation absolue de l'effectif d'une population est constante, on peut utiliser un modèle linéaire. Lorsque le taux de variation est constant, on peut utiliser un modèle exponentiel. Le modèle de Malthus est un modèle exponentiel qui intègre les taux de natalité et de mortalité.
D'après la loi de refroidissement de Newton, il existe un réel a strictement positif tel que, pour tout t ∈ [0 ; +∞[ : f '(t) = −a f (t), c'est-à-dire : f '(t) + a f (t) = 0. −a est le coefficient de proportionnalité. Il est négatif car plus l'eau est chaude, plus elle perd de la chaleur.
l'équation différentielle (E0) : y′(x) + b(x) a(x) y(x) = 0 est l'ensemble des fonctions y définies sur I par y(x) = ke−G(x) où k est une constante réelle et G une primitive de le fonction γ(x) = b(x) a(x) . Si a et b par des constantes, on retrouve le théorème vu en terminale.
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres. Par exemple, x + 2 = 6 x + 2 = 6 x+2=6x, plus, 2, equals, 6 est une équation. L'inconnue est x.
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Le début d'une véritable théorie des équations est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du XVI e siècle.
Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Thābit ibn Qurra, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.
Pour savoir si une fonction donnée f est solution ou non d'une équation différentielle ( E ) , il suffit donc de remplacer y par f ( t ) et y ′ par f ′ ( t ) dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.