Alors, pourquoi travaillons nous en base 10 ? Cela est principalement lié à nos doigts. Effectivement, le plus intuitif est souvent le plus simple. Il est fort à parier que si nous avions 2 doigts de plus, nous aurions 12 chiffres dans notre système numéraire.
Pourquoi la base 10 plutôt que la base 12 ? Sans doute parce que 5 et 2, diviseurs de 10, divisent TOUS les nombres. Ainsi, la division de n'importe quel entier par une puissance de 10 donne un nombre "décimal".
Multiplier par 10, c'est rendre dix fois plus grand le nombre multiplié. Il est possible de le faire en rendant dix fois plus grande chaque unité de numération du nombre multiplié. Les unités deviennent des dizaines, les dixièmes deviennent des unités…, etc.
C'est en effet l'Extrême-Orient qui invente l'écriture décimale positionnelle au IIIe siècle avant J. -C. Au nombre de dix, les chiffres correspondent à un système d'écriture décimale dite positionnelle, où un nombre est représenté dans un système de base 10 selon une notation positionnelle.
Le zéro a été inventé aux alentours du Ve siècle en Inde. Le mathématicien et astronome Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien. Il invente un signe pour l'absence et ouvre le chemin de la représentation de ce qui n'était pas représentable jusque-là.
Le système décimal, fondé sur les chiffres 0 à 9, est bien né en Inde. Il a été introduit à Bagdad, au début du IXe siècle, par le mathématicien Al-Khwarezmi. Ce savant ouzbek en a fait la promotion dans un ouvrage de vulgarisation intitulé Le Livre du calcul indien.
Les multiples de 10 se terminent tous par 0. Ex. : 30, 790, 9 850, 213 850, etc. Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3.
En réalité, dans notre numération, multiplier un nombre par 10, c'est décaler tous les chiffres qui le compose d'un "cran" vers la gauche. Les unités deviennent des dizaines (et oui une dizaine c'est 10 fois une unité...). Les dizaines deviennent des centaines, etc... Et dans la partie décimale, c'est pareil.
Il suffit de prendre le premier nombre et de lui ajouter le chiffre des unités de l'autre puis de multiplier le résultat par les dizaines du second nombre et d'ajouter à ce résultat la multiplication des unités des deux nombres.
Pour compter de cinq en cinq, il suffit de sauter quatre nombres à chaque fois. Pour compter de dix en dix, il te suffit de connaître tes dizaines.
Les critères de divisibilité par 10
- Se termine par 0 : dans la liste des multiples de 10, chaque nombre se termine par un 0. C'est un critère de divisibilité par 10. Donc : un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0.
Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération.
Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimale a été mis au point : au IIIe millénaire av.
Les origines de la base 60 se cachent également sur nos mains : il s'agit d'une combinaison entre les 5 doigts de la main gauche et les phalanges des quatre doigts de la main droite, le pouce servant à compter les phalanges, soit 12 au total. Et 5 x 12 = 60 !
Pour multiplier un nombre par 10, 100 ou 1000, on lui rajoute le nombre de zéros correspondant aux unités, dizaines ou centaines qu'on veut lui ajouter.
Son résultat s'appelle le produit, les nombres que l'on multiplie sont les facteurs. La multiplication de deux nombres a et b se dit indifféremment en français « a multiplié par b » ou « b fois a ».
10 : en effet, 10 est bien un multiple de lui-même, puisque 10 est divisible par 10 (on a 10 / 10 = 1, donc le reste de cette division est bien nul) 20 : en effet, 20 = 10 × 2. 30 : en effet, 30 = 10 × 3.
Les multiples de 10 sont pour lesquels on a multiplié un nombre par 10 pour les trouver. Il s'agit des dizaines entières : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 et on poursuit de 10 en 10... Pour multiplier un nombre par 10, il suffit de rajouter un 0 à la fin de ce nombre.
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, … 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, … 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, …
En tant que nombre, zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. Il est le plus petit des entiers positifs ou nuls.
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Le zéro devient "un nombre nul" à partir du Ve siècle
Ce sont les mathématiciens et philosophes Indiens qui, au Ve siècle de notre ère, font évoluer le sens mathématique du zéro vers le sens moderne, celui que nous reconnaissons aujourd'hui en tant que nombre "entier", pouvant être additionné et multiplié.