permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général. On le retrouve dans l'étude des formes quadratiques ou celle des corps de nombres dans le cadre de la théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est...) ou celle des nombres algébriques.
Le discriminant apporte dans ce cadre une information sur l'existence ou l'absence de racine multiple. Le discriminant est utilisé dans d'autres domaines que celui de l'étude des polynômes. Son usage permet de mieux comprendre les coniques et les quadriques en général.
le Delta est un intermédiaire de calcul qui permet de savoir si l'équation a 0, 1 ou 2 solutions. Il y aura dans la suite des cours des tas d'exemples où il sera utile de savoir résoudre ces équations (notamment en physique et chimie, mais pas seulement).
Trouver les racines d'un trinôme du second degré, signifie résoudre l'équation ax² + bx + c = 0. Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Δ (delta majuscule)
correspond à une variation au sens le plus général, c'est-à-dire à une différence entre deux quantités.
Nom commun. (Algèbre) Notion algébrique intervenant dans la résolution d'une équation du second degré, plus connue sous le nom de delta (Δ). (Par extension) Outil permettant de déterminer si les racines d'un polynôme de degré supérieur à 2 sont multiples.
Définition : On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c , le nombre réel, noté A, égal à b2 − 4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est : ∆ = (-6)2 – 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60.
La lettre majuscule Δ est souvent utilisée en sciences et mathématiques pour nommer une différence entre deux grandeurs, delta étant l'initiale du mot grec διαφορά (diaphorá), « différence ».
Re : delta prime
De mémoire, on se servait de Delta' quand le coef de x était pair. genre ax²+2bx+c=0. Bref, on peut simplifier par 2. Ça n'a aucun intérêt, même à la glorieuse époque où les calculatrices n'existaient pas.
On commence par identifier les coefficients a, b et c de l'équation. On vérifie si l'équation est facile à résoudre : c'est le cas lorsque b=0 ou c=0, ou encore lorsqu'on reconnaît une identité remarquable. Si l'équation n'est pas évidente, on calcule le discriminant Δ=b2−4ac.
Si le discriminant est égal à 0, l'équation a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 a une racine réelle double. Si le discriminant est négatif, l'équation a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0 n'a pas de racine réelle.
Discusion du nombre de solutions selon le signe du discriminant. - Si Δ < 0 alors l' équation ax2 + bx + c = 0 n' admet aucune solution réelle. - Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2.
Le signe de Δ indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0 , alors il y a deux solutions réelles distinctes ; si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle répétée ; si Δ < 0 , alors il n'y a pas de solutions réelles.
Calcul du discriminant : ∆ = b2 −4ac = ( √2)2 −4(1)(1) = −2. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c'est à dire toujours positif car a = 1.
➔ Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.
Si > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x – x1)(x – x2). On a alors le tableau de signe suivant : ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de – a entre les racines. Si = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1.
Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x0)2.
C'est la quatrième lettre de l'alphabet grec, qui correspond au « d » de notre alphabet. En capitale, « delta » est connue pour sa forme triangulaire. Les Grecs l'employaient pour désigner les régions situées à l'embouchure du Nil.
Différence, écart, amplitude.
Les deux racines distinctes sont 1 et 2. Il y a deux solutions, mais deux fois la même, on dit alors qu'on a une racine double.
Lorsque b est un nombre pair, pour simplifier les calculs, on introduit parfois le discriminant réduit. Pour cela, on pose b=2b′ b = 2 b ′ . Le discriminant réduit vaut : Δ′=b′2−ac.
Comment calculer une racine d'un polynôme ? Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe croise l'axe y=0 zéro). Le calcul de racines de polynôme passe généralement par le calcul de son discriminant.